“钉子板上围不出圆”，能让学生信服吗？

刘佳 严育洪

“望”：病例观察

苏教版五年级上册“用字母表示数”单元后有一节综合实践活动课“钉子板上的多边形”。

当学生通过教师所举的多边形内只有一个钉子的例子，发现“多边形的面积是多边形边上钉子数的一半”之后，教师启发道：“这句话怎么表示可以更简洁？”

学生面面相觑。教师提示学生可以用字母表示数、用字母式表示数量关系，板书a=1，S=n÷2。然后，教师让学生自己举例验证。

展示几个学生的例子后，教师准备总结：同学们，你们举的例子也都符合结论吧？……

生1（举手）：老师，我的不符合结论。

师（感到突然，也感到奇怪）：哦？不符合？！

生1作业纸的点子图上徒手画了这样一个圆（如下图）：圆的边上钉子数是4，代入S=n÷2算出的面积是2，但我用割补法发现实际面积应该比2大。

师（略有迟疑）：同学们，你们对这个反例有什么看法？

生2：二年级的时候，我们已经知道钉子板上是围不出圆的。

生1（不服）：但可以画出来啊。

生2感觉自己的理由不充分，坐下继续思考。

师（欣喜地表扬生2）：是啊！钉子板上是围不出圆的，所以这个反例不符合要求，结果自然不符合结论。现在，我宣布刚才的结论正确。

……

课终，教师让学生回想刚才的学习过程，板书“猜想—验证—结论”，总结了找规律的方法。

“问”：病历记录

课后，笔者与执教者进行了这样一番交流——

笔者：课中生2的反对意见“钉子板上是围不出圆的”，可以成为反对生1提出的反例的理由吗？

执教者：不可以么？钉子板上确实围不出圆的啊。

笔者：你有没有发觉生1并不服气？

执教者：嗯。

笔者：他的申辩“但可以画出来啊”是否有道理呢？

执教者（反问）：有道理吗？画出来不等于围出来。

笔者：你知道皮克公式么？

执教者：不知道。

笔者换了一个话题——

笔者：圆是多边形吗？

执教者：……

“切”：病理诊治

“钉子板上的多边形”属于规律探索类课型，是苏教版教材修订后新放入的内容。教材依次呈现多边形内有1个钉子、2个钉子的图形，引导学生通过数一数、算一算等方法发现多边形面积与边上钉子数之间的关系，在此基础上，探索、推导多边形内有3个、4个等更多钉子的情况，最后得出一般结论。

苏教版教材原来单独设置“找规律”单元，新教材则分解后融入相关教学之中。在教学“找规律”知识时，教材提出重在“找”，所以这一综合实践活动教学的价值取向不在于“获得的结论是什么”，而重在“你是怎么获得结论的”，让学生经历规律探索的一般过程与方法，积累数学活动经验，培养学生善于发现的眼光、科学严谨的态度、归纳概括的能力。

不过，我们需要注意的是，这节课的“找规律”是五年级的内容，学生在之前的学习中，已经经历过了专门的“找规律”的直接教学，如“周期规律”“搭配规律”等。除了这些抬头写着“找规律”标识的专门教学，很多探究性的教学内容其实也是在“找规律”，例如代数领域的“商不变性质”“运算律”等，几何领域的“三角形的三边关系”“三角形的内角和”等，只是这种内容的教学重点不只在“找规律”，还须在“用规律”。可以说，“找规律”作为一条路径或一个环节，隐身在许多教学内容中。但如果教师在教学这些内容的时候，都能够把它们看作“找规律”知识，并按照“找规律”教学的一般规律来设计，那么学生到五年级本节课教学的时候，已经相当熟悉找规律的方法流程和技术手段，足以实现知识上和学法上的正迁移。

然而，从这节课“课终，教师让学生回想刚才的学习过程，板书‘猜想—验证—结论’，总结了找规律的方法”来看，要么教师的潜意识中还把这节课当作找规律知识的“独生子女”，无视知识的血脉联系，要么不肯放手让学生自己设计找规律的探究程序，无视学生的能动作用。也就是说，如果教师“眼中有过去”“眼中有学生”，那么他会在课的一开始就让学生回想过去，让学生循着一般流程和一般方法去找规律，而不会把它作为新玩意儿在课终让学生去总结。

学生在以往的“找规律”学习中，除了知道找规律的一般流程，还知道找规律的一般方法，遵循由易到难、由点到面、由表到里的思路向更远处迈进、向更深处挺进。这也就告诉我们，在找规律的时候，学生自己会从最简单、最特殊的例子入手进行研究。这节课的找规律，比以前的“找规律”内容更复杂，存在着第三个变量，但我们不必担心学生，他们还是会依照研究的一般规律，从比较容易的形内钉子数a=1的规则图形开始，然后逐步展开，课中教师只需顺着学生的这种认识规律设计教学线索、设置教学板块。此中，可能会出现学生从形内钉子数a=0的规则图形开始的原始想法，对这种情况，教师不必“强扭”，而可以抓住学生在比较由此得到的数据时探索规律存在困难，及时引导学生调整研究起点，把a=1作为突破点。如此一来，到最后，学生自己会不忘回过来探索a=0的情形，给探究活动画上圆满的句号。这样让学生“念念不忘”的课堂必将呈现出一番生“动”局面。

在此还需要着重指出的是，现在小学教材上编排的“找规律”内容大多是让学生运用不完全归纳法发现规律，这是由小学生的学情决定的，由此带来的好处是，它有助于教师设计丰富多彩的探究活动，也有利于学生在探究活动中充分体验发现的过程，发展观察、比较、推理、综合和抽象、概括等思维能力。不过，用不完全归纳法而发现的结论未必为真，所以在平时教学中，教师要转换立场，把自己当作并不知“真”情的学生，这样才不会忘记让学生在每次验证的时候尝试寻找反例。并且这种寻找反例的过程不能流于形式、一带而过，需要真的留出时间给学生。

鉴于现行教材编排的“找规律”都是能够找到规律的，经历几次后，学生可能会形成“发现的结论必定为真”的定势和误解，这显然与科学探究的真相不符，也阻碍了学生学习的科学态度的形成。于是，有教师特意自编了一种“探究失败，结论错误”的教材，以此冲击和矫正学生或已形成的固见和错觉，这不失为一种明智之举。

以此观察本节课的教学，教师的提问（其实不是真的在问，只是作为过渡的应景性的随口一问）——“同学们，你们举的例子也都符合结论吧？”结果有学生发现了反例，从教师“感到突然，也感到奇怪”的反应中可以看出，教师的预设并没有“让学生寻找反例”这一教学环节，由此也可以看出这位教师在以往的“找规律”教学中也没有“让学生寻找反例”这一教学习惯。这不符合科学探究的本义，虽然对真命题教材来说，寻找反例属于多此一举，但我们的教学却不能视之为多此一举，因为你已知其“真”，而学生尚在求“真”。

接下来的课堂，从学生举出反例之后教师的应对来看，我们可以发现，教师对教材的研究并不透彻。“钉子板上是围不出圆的”这一回答真的可以成为反对反例的理由吗？

如果深究教材内容，我们可以发现“钉子板上的多边形”不过是皮克公式的“替身”。皮克公式是奥地利数学家皮克发现的一个计算点阵中多边形的面积公式。数学科普读物《格点和面积》也介绍了什么是格点以及面积的主要内容：一张方格纸，上面画着纵横两组平行线，相邻平行线之间的距离都相等，这样两组平行线的交点，就是所谓格点，怎样用格点的个数去计算平面上有限区域的面积，或者反过来，在平面上已知面积的一个有限区域内至少有多少个格点。《格点和面积》就是这样围绕着格点和面积这个主题，讲述了数学上一些有用的问题。

由此我们可以作这样的推断，“钉子板上的多边形”的原型是“格点图中的多边形”。而教材为何要把研究背景放在钉子板上呢？更多的是考虑到钉子板上围图形是小学生喜闻乐见的活动，也是学生在低年级已经做过的事，有着丰富的活动经验，并且这样的呈现方式富有童趣，给了学生玩数学的乐趣。然而，这一小小的改变，也可能会蒙蔽学生的眼睛。课中生2的回答“钉子板上是围不出圆的”，从教材表面看，不可说不对，但从知识本质看，就难以服众。如果教师知道了这些，就不会肯定生2的看法，而对生1的申辩“但可以画出来啊”倍加关注并借机发挥，把“钉子板上的多边形”及时转到“格点图中的多边形”，引导学生看到教材背后的知识真相。之后，引导学生去寻找问题的真解——“因为圆不是多边形”。这一生成性问题也在提醒我们，教师在教学时，先要找到源知识，这样才能让教学内容不会偏离本质太远，课终也就会向学生指明知识的发展方向，介绍皮克公式和《格点和面积》一书，开阔学生的视野。

最后，附带一提的是，本节课虽然是找规律类型的课，但它附属在“用字母表示数”单元后，那么我们就不能忘记另一个教学任务，让学生在找规律的过程中复习和巩固“用字母表示数”的知识。不过，要让学生在表述规律的时候能够主动想到用字母表示数以及用字母式表示数量关系，仅仅靠像课中教师那样依靠知识的优越性——“这句话怎么表示可以更简洁”来牵线搭桥，还不足以体现知识的本质属性——“用字母表示数演绎了‘数’到‘代数’的一次飞跃，它体现了一个数从‘确定’到‘不确定’的变化趋势”。在缩写水平上运用字母，只展示用字母表示数的简洁性，会让学生存在认识上的局限性——将符号概括水平上的运用和音节缩写水平上的运用混为一谈。从教学现场看，学生并不觉得“多边形面积是边上钉子数的一半”（注：用“多边形面积数是边上钉子数的一半”的表述更为科学）这一关系句表述烦琐，这一尴尬局面的解决之道是，我们应该抓住多边形的面积、边上钉子数以及形内钉子数等数据的“在变化”，来引导学生想到用字母来表示这种“变化”。换一句话说就是，我们应展示用字母表示数的概括性，来引导学生真正理解用字母表示数的本质——“不是因为不知道这个数量是多少，而是因为这个已知的数量在不断的变化中”。

综上所述，我们不难发现“钉子板上的多边形”这节课有两条教学线索：教学的明线是让学生寻找“钉子板上的多边形”中存在的规律，教学的暗线是让学生寻找“用字母表示数”中存在的规律。双线并进，或许就是这节课作为综合实践活动课的意义所在：“综合”成就课的内容，“实践”成就课的价值，“活动”成就课的形式。

（江苏省宜兴市环科园实验小学 214200

江苏省无锡市锡山教师进修学校 214101）