一元一次不等式应用中的“取”与“舍”

沈兵

对于一元一次不等式的应用，虽然同学们都能够记住一般解题步骤，但是在解这类应用题时由于经验不足、抓不到关键词、概念混淆、思维定式等原因的存在，使学生们在解题过程中遇到困难，而不能得到正确的解.不等式应用题的取材广泛，又紧密结合实际生活，解这类题首先要理清题意，寻找关键词，比如“不少于”、“不大于”、“大于”、“小于”、“比……要节省”等，从而找到不等关系，列出不等式（组），通过解不等式确定不等式的解，最后要检验所求解是不是与实际问题相符合.

例1 已知：用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货10吨； 用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货11吨. 某物流公司现有31吨货物，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物. 根据以上信息，解答下列问题：

（1） 1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货多少吨？

（2） 请你帮该物流公司设计租车方案；

（3） 若A型车每辆需租金100元/次，B型车每辆需租金120元/次. 请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费.

【分析】（1） 根据“用2辆A型车和1辆B型车载满货物一次可运货10吨；”“用1辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货11吨”，分别得出等式方程，组成方程组求出即可.

（2） 由题意理解出：3a+4b=31，解其整数解的个数，即就有几种方案.

（3） 根据（2）中所求方案，利用A型车每辆需租金100元/次，B型车每辆需租金120元/次，分别求出租车费用即可.

【答案】（1） 设1辆A型车和1辆车B型车一次分别可以运货x吨，y吨，根据题意得出，2x+y=10，

x+2y=11.解得：x=3，

y=4.

答：1辆A型车和1辆车B型车都载满货物一次可分别运货3吨，4吨.

（2） ∵某物流公司现有31吨货物，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，∴3a+4b=31. 则a≥0，

b=31-3a4≥0.解得：0≤a≤1013. ∵a为整数，∴a=1，2，…，10. 又∵b=31-3a4=7-a+3+a4为整数，∴a=1，5，9. ∴当a=1，b=7；当a=5，b=4；当a=9，b=1. ∴满足条件的租车方案一共有3种，a=1，b=7；a=5，b=4；a=9，b=1.

（3） ∵A型车每辆需租金100元/次，B型车每辆需租金120元/次，∴当a=1，b=7，租车费用为：W=100×1+7×120=940元；当a=5，b=4，租车费用为：W=100×5+4×120=980元；当a=9，b=1，租车费用为：W=100×9+1×120=1 020元. ∴当租用A型车1辆，B型车7辆时，租车费最少. 答：最少租车费为940元.

例2 某校为了奖励在数学竞赛中获胜的学生，买了若干本课外读物准备送给他们.如果每人送3本，则还余8本；如果前面每人送5本，则最后一人得到的课外读物不足3本. 设该校买了m本课外读物，有x名学生获奖.请回答下列问题：

（1） 用含x的代数式表示m；

（2） 求出该校的获奖人数及所买课外读物的本数.

【分析】不等字眼“不足3本”即是说全部课外读物减去5（x-1）本后所余课外读物应在大于等于0而小于3这个范围内.

解：（1） m=3x+8，

（2） 由题意，得3x+8-5（x-1）≥0，

3x+8-5（x-1）<3.

∴不等式组的解集是：5

∵x为正整数，∴x=6.把x=6代入m=3x+8，得m=26.答：略

例3 某城市的出租汽车起步价为10元（即行驶距离在5千米以内都需付10元车费），达到或超过5千米后，每行驶1千米加1.2元（不足1千米也按1千米计）.现某人乘车从甲地到乙地，支付车费17.2元，问从甲地到乙地的路程大约是多少？

【分析】本题采用的是“进一法”，对于不等关系的字眼“不足1千米也按1千米计”，许多同学在解题时都视而不见，最终都列成了方程类的应用题，事实上，顾客所支付的17.2元车费是以上限11公里来计算的，即顾客乘车的范围在10公里至11公里之间. 理论上收费是按式子10+1.2（x-5）来进行的，而实际收费是取上限值来进行的.

解：设从甲地到乙地的路程大约是x公里，依题意，得

10+5×1.2<10+1.2（x-5）≤17.2，

解得10

答：从甲地到乙地的路程大于10公里，小于或等于11公里.

（作者单位：江苏省泰州市姜堰区实验初级中学）