应用“梁的内力图规律”画“静定多跨梁和刚架的弯矩图”

禹良工 王玉玲

摘 要： 弯矩图能形象地表明弯矩在全梁、刚架范围内的变化情况。通过弯矩图可以知道最大弯矩值|Mmax|，并能确定它所在的位置。在画弯矩图时，如果能掌握荷载作用方式与弯矩之间的一些基本规律，用分段确定弯矩图的形状及计算控制截面弯矩值的方法，就能简捷地画出静定多跨梁和静定刚架的弯矩图。

关键词： 内力图的规律 弯矩图 控制截面

在一般情况下，梁在不同截面上的弯矩值是不同的，在计算梁的强度和刚度时，需要知道最大弯矩值及其所在的截面位置，为此，要了解弯矩在全梁范围内的变化情况，就要画弯矩图。若用横坐标X表示梁的横截面位置，那么弯矩值随X值而变化，即梁的弯矩表示为X的函数，反映梁的弯矩随X值变化的方程就是弯矩方程。用平行于梁轴的坐标表示梁横截面位置；垂直于梁轴的纵坐标表示相应截面的弯矩，按一定比例画出弯矩方程的函数图形，就叫做梁的弯矩图，弯矩图能形象地表明弯矩在全梁范围内的变化情况。用弯矩方程画弯矩图的方法比较繁，需要对梁分段截取脱离体并建立弯矩方程，这个过程是比较繁的，而通过掌握荷载作用方式与弯矩图之间的一些基本规律（内力图规律），免去分段截取脱离体并建立弯矩方程的过程，用分段确定弯矩图的形状及计算控制截面弯矩的方法画弯矩图，就简捷多了。用此方法也能快速准确地画出静定多跨梁和刚架的弯矩图。

一、内力图规律

梁的弯矩图和梁的受力情况存在以下规律。

1.在无荷载作用区段，弯矩图为斜直线，集中力作用处，弯矩图发生转折。

如图所示，简支梁在集中力F作用下的弯矩图。

画弯矩图之前，首先应对梁进行分段，分段的关键是找出各段分界点，分界点不外乎梁的起、止截面，均布荷载的起、止截面，集中力（包括中间支座反力）及力偶的作用截面。上图中，集中力F将简支梁AB分成AC、CB两个无荷载作用区段，据内力图规律，AB、CB段的弯矩图均为斜直线，弯矩图在集中力F作用处发生转折。

其次计算出各控制截面的弯矩值，就可以简捷地画出弯矩图。这里的控制截面为梁的起、止截面，集中力（包括中间的支座反力）及力偶作用截面，以及剪力为零的截面（有弯矩极值的截面）。由此可知，图中的弯矩值控制截面是A、B、C截面，据计算弯矩的规律求得M■=0，M■=■，M■=0，由此计算结果，即可画出弯矩图。

2.在向下的均布荷载作用下，弯矩图为朝上凹的二次抛物线。

对梁进行分段，均布荷载的起、止点A、C，支座A、B是梁的分界点，所以，梁由A、B、C三点分为AB和BC两段，均为在向下的均布荷载作用下，弯矩图为朝上凹的二次抛物线。

计算控制截面的弯矩值，该梁的弯矩控制截面有A、B、C截面，此外还有剪力为零的截面，即产生弯矩极值的截面。通过计算得：M■=0，M■=1.125qa■，M■=2qa■，M■=0。由计算结果分别将AB、BC段用平滑的曲线连接起来即可。抛物线有上凹和下凹两种，当q向下时，弯矩图为上凹抛物线；当q向上时，弯矩图为下凹的抛物线。

3.在集中力偶作用处，弯矩图发生突变，突变的绝对值等于该力偶的力偶矩。

如图为集中力偶作用下的简支梁，支座A、B，集中力偶作用点C将梁分成AC、CB两段，均为无荷载作用区段，弯矩图分别为斜直线，这里应注意，C截面处弯矩图将发生突变。

控制截面A、B、C的弯矩值，由于C截面处弯矩图发生突变，因此C截面的左右截面的弯矩值不等应分别计算。据计算，弯矩的规律M■=0，M■=■，M■=-■，M■=0。最后分别将AC、CB段直线相连即可得到弯矩图。由弯矩图可看出，C截面弯矩突变的绝对值等于m。

以上规律不仅适用于简支梁、外伸梁和悬臂梁，而且适用于静定多跨梁，同时可以用来画静定刚架的弯矩图。用内力图的规律画弯矩图既准确又方便，尤其是画几种荷载共同作用下的弯矩图时，更能显示其优越性。

二、利用内力图规律画弯矩图

下面看两个用内力图规律画静定多跨梁和静定刚架弯矩图的例子。

例1：试作图示静定多跨梁的弯矩图。

解（1）计算反力。计算简图如图（a）所示：

由EG的平衡条件可得：Y■=-10KN，Y■=30KN

由GH的平衡条件可得：Y■=30KN，M■=60KNm

由AE的平衡条件可得：Y■=65KN，Y■=-15KN

（2）画弯矩图。分段定性：AB、CD、DE、EF、FG、GH均为无荷载作用区段，弯矩图为斜直线；BC段是有荷载区域，弯矩图是二次抛物线，凹口朝上，力偶作用的F截面，弯矩图要突变，集中力（包括Y■、Y■）作用的截面，弯矩图要发生转折。

计算各控制截面的弯矩值，由计算结果即可画出弯矩图。

这里需要指出的是，在画该题计算简图时，往往有些同学不知道该怎样处理作用在G铰上20KN的集中力，该集中力可作用在EG部分（a图），也可作用在GH部分（b图），也就是说，计算简图可画成a图的形式或b图的形式，最后得到的弯矩图是相同的。

例2：试作出图示（a）静定刚架的弯矩图。

（a） （b）

分析：静定刚架内力可用梁的计算内力规律来计算，其弯矩图也可用梁的内力图规律画出。通过平衡条件求出支座反力，刚架的刚节点截面上，一般有剪力、弯矩和轴力三种内力，这些内力和固定端支座的反力形式相同。刚节点处可视作各杆段的固定端，若将所有已知力（包括支座反力）视为外力，刚架的各杆段就成为悬臂梁（或柱）。于是，刚架的弯矩图问题就转化为悬臂梁的弯矩图问题。

解：（1）计算支座反力。利用刚架整体图（a）的平衡条件得：

∑X=0 20*4-X■=0 X■=80KN

∑■=0 R■*4-40*2-20*4*2=0

R■=60KN

∑Y=0 60-40-Y■=0 Y■=20KN

（2）画弯矩图。分段定性：BC、CD为无荷载作用区段，弯矩图为斜直线；AB段是有荷载作用区段，弯矩图为二次抛物线，凹面朝左，集中力作用的C截面，弯矩图发生转折。

计算控制截面的弯矩值：

AB段：M■=0，M■=80*40-20*4*2=160KNm（右侧受拉）

M■=80*2-20*2*1=120KNm（右侧受拉）

BC段：M■■=60*4-40*2=160KNm（下侧受拉）

M■=60*2=120KNm（下侧受拉）

CD段：M■=60*2=120KNm（下侧受拉），M■=0

由计算结果即可画出刚架的弯矩图（图（b））

这里需要指出的是，刚架弯矩的正负号可随意假设，但弯矩图应画在杆受拉的一侧，图中不标正负号。在刚节点处无外力偶作用时，两杆端弯矩相等且受拉边在同一侧。

应用内力图规律画弯矩图是一种较简便的画法，它能使弯矩图画得既快速又准确，但必须熟练掌握内力图规律。

参考文献：

[1]张曦，主编.建筑力学.中国建筑工业出版社，2009.3，第二版.

[2]于英，主编.建筑力学.中国建筑工业出版社，2013.6，第三版.

[3]王兴国，主编.建筑力学.化学工业出版社，2013.9，第一版.

[4]杨茀康，李家宝，主编.结构力学.高等教育出版社，1983.1，第8版.