中考中“数形结合思想”的应用

2015-09-10杨勇

中学生数理化·中考版 2015年6期

关键词：巡逻艇货轮数形结合思想

杨勇

让我们先来看一个数学问题及其解答：

甲是乙现在的年龄时，乙10岁；乙是甲现在的年龄时，甲25岁，那么（）.

A.甲比乙大5岁

B.甲比乙大10岁

C.乙比甲大10岁

D.乙比甲大5岁

解：不妨设甲、乙二人现在的年龄分别是x岁、），岁，显然，由题意可知x>y，我们可把甲、乙二人年龄及其转换关系，用数轴上的点表示（如图1）.

因为甲、乙二人的“年龄差”是个定值，由题意，结合数轴的图形表示，可得：

①+②，整理，得3（x-y）=15.

则x-y=5.即甲比乙大5岁.故应选A.

在上述的解答中，通过借助数轴，清晰地把甲、乙二人的年龄及其数量转换关系呈现出来，迅捷地列出方程组使问题获解，这种解决问题的思想便是我们常说的“数形结合思想”，

数形结合思想是指从几何直观的角度，利用几何图形的性质研究数量关系，寻求代数问题的解决，或利用数量关系研究几何图形的性质，解决几何问题的一种数学思想，

一、“以形助数”，即将数量关系借助于图形及其性质使之直观化、形象化，从而获得解题方法

例1 某公司员工分别住在A、B、C三个住宅区，A区有30人，B区有15人，C区有10人.三个区顺次在同一条直线上，且A、B两区相距100 m，B、C两区相距200 m，该公司的接送车打算在此间只设一个停靠点，为使所有员工步行到停靠点的路程之和最小，那么停靠点的位置应设在（）.

A.A区

B.B区

C.C区

D.A、B两区之间

分析：根据题意“A、B、C三区顺次在一条直线上”，我们可用一条直线展现三个区的位置及其距离（如图2）.

假设停靠点设在A区，则所有员工所走总路程为15×lOO+lOx300=4 500 （m）；若设在B区，则总路程为30xlOO+lOx200=5000 （m）；若设在C区，则总路程为30x300+15x200=12000 （m）；若设在A、B两区之间，不妨设在D处，则所走总路程为30.AD+15（100-AD）+10（300-AD）=（4500+5AD）（m）.

通过比较可知，停靠点设在A区，可使所有员工所走总路程最小，故应选A.

例2一巡逻艇和一货轮同时从A港口前往相距100km的B港口，巡逻艇和货轮的速度分别为100 km/h和20km/h.巡逻艇不停地往返于A、B两港口巡逻（巡逻艇调头的时间忽略不计）.

（1）货轮从A港口出发以后直到B港口与巡逻艇一共相遇了几次？

（2）出发多长时间巡逻艇与货轮第三次相遇？此时离A港口多少千米？

分析：（l）由题设条件可知，巡逻艇l小时可以往返于A、B两港，而货轮需5小时才能从A港到达B港.我们可借助“平面直角坐标系”来表示题设数量及其运动图象（如图3）.

这样，问题便转换为判断巡逻艇与货轮运动图象的交点问题，显然，由图象可知，货轮从A港口出发后直到B港口与巡逻艇一共相遇4次.

（2）设OC所在直线解析式为y=mx.由图象可知C坐标为（5，100）. 则5m=100.解之，得m=20. 故直线OC的解析式为y=20x.① 设DE所在直线的解析式为y=kx+b. 直线y=kx+b过点E（3，100），D（4，0），则有：

解之，得k=-100，b=400. 故直线DE的解析式为y=-lOOx+400. ② 联立①、②，得

解这个方程组，得.

即交点F的坐标为，可见，在货轮出发小时后巡逻艇与货轮第三次相遇.这时离A港口 km.

二、“以数解形”，即将几何图形问题数量化表达描述，借助代数运算获得解题路径

例3 如图4，在边长为4的正方形内部，以各边为直径分别画出4个半圆，则图中阴影部分的面积是（）.