运用整体思想巧解中考题

张德柱

整体思想，就是在研究和解决有关数学问题时，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征，从而对问题进行整体处理的解题方法.从整体上去认识问题、思考问题，常常能化繁为简、变难为易，同时又能培养思维的灵活性、敏捷性.整体思想的主要表现形式有整体代入、整体加减、整体代换、整体联想、整体补形、整体构造等.在初中数学中的数与式、方程与不等式、函数与图象、儿何与图形等方面，整体思想都有广泛的应用，因此，每年的中考中出现了许多别具创意、独特新颖的涉及整体思想的问题，尤其在考查高层次思维能力和创新意识方面具有独特的作用.下面举例说明，以飨读者.

一、整体代入

例1 （2014.淄博）当x=l时，代数式 的值足7，则当x=-l时，这个代数式的值是（）.

A.7

B.3

C.1

D.-7

分析：把x=l代入代数式求出a、b的关系式，再把x=一l代入进行计算即可得解，

，解得

时，

. 故选C。

评注：本题是直接代入求值的一个基本题型，利用整体思想是解题的关键.此类题首先要观察已知条件和需要求解的代数式，然后将已知条件变换成适合所求代数式的形式，运用整体代入法即可得解，

例2 （2014.黔东南）已知抛物线y=x2-x-1与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2_m+2 014的值为（）.

A.2 012

B.2 013

C.2 014

D.2 015

分析：国因为抛物线y=x2-x-l与x轴的一个交点为（m，0），所以把x=m代入方程x2-x-1=0可求得m2一m=l，然后将其整体代入代数式m2-m+2014，故m2一m+2014=1+2014=2015.故选D.

评注：本题考查了抛物线与x轴的交点.解题时需注意“整体代入”数学思想的应用，从整体上去认识问题、思考问题，常常能化繁为简、变难为易，减少计算量.

二、整体变形

例3 （2014.凉山州）已知

解析：此题考查二次根式的混合运算，把所求代数式利用完全平方公式整体变形是解决问题的关键，首先把 变形为（X1+X2）2 - 2x1X2，再进一步代入求得数值即可.

评注：从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构分析和改造，发现问题的整体结构特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子（或图形）看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的的整体变形，从而使代数式的化简与求值计算过程简捷，

三、整体加减

例4 （2014.兰州）为了求 的值____，可令 ，则 ，因此 ，所以 ，即 1.仿照以上推理计算 的值是

，

解析：根据题目所给的计算方法，设

①式两边都乘以3，得

②一①得2M=

两边都除以2，得 ，故答案为：

评注：本题主要考查学生观察能力及运用整体思想解题的运算能力，利用错位相减法，消掉相同值，是解题的关键.

例5已知 且 ，则k的取值范围为（）.

A. B. C. D.

解析：本题如果解方程，分别求出方程组的解显然比较麻烦，注意到条件“-l

评注：运用整体思想方法解题，要有强烈的整体意识，要认真分析问题的条件或结论的表达形式、内部结构特征，不拘泥于常规，不着眼于问题的各个组成部分，从整体上观察，从整体上分析.运用整体思想方法，往往能起到化繁为简化难为易的效果，

四、化零为整

例6 如图1，∠1+ ∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=____.

解析：由于本题无其他任何条件，因而单个角是无法求出的.利用三角形的性质，我们将∠1+ ∠2视为一个整体，那么应与△ABC中 的外角相等，同理 ∠3+∠4，∠5+∠6 分别与∠ABC+∠ACB 的外角相等，利用三角形外角和定理，可知∠1+ ∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=360°，本题就迎刃而解了，

评注：整体联想待求式各元素之间的关系并正确应用相关性质是解决此类问题的关键.我们在解题过程中，应仔细分析题意，挖掘题目的题设与结论中所隐含的信息，然后通过整体构造，常能出奇制胜，

五、整体构造

例7如图2，在正方形ABCD中.E为BC边的中点，AE平分 ，试判断4F与BC+CF的大小关系，并说明理南，

解析：证明一条线段等于另外两条线段的和或差，常常用截长法或补短法把问题转化为证明两条线段相等的问题，本题中我们可利用三角形全等将BC+CF转化为一条线段的长，从而达到了解决问题的目的.

因E是BC中点，故BE=CE.

正方形ABCD中，AB=BC， ，过E作 连接

因AE平分

因AE=AE，故△ABE

故AH=AB=BC，EH=EB=EC，

因EF=EF，故 .故HF=CF

故AF=AH+HF=BC+CF

评注：本题也可以延长DC至G，使CG=DC，连接EG.易得AF=FG=FC+CG=FC+BC.显然，用整体思想解题不仅解题过程简捷明快，而且富有创造性，有了整体思维的意识，在思考问题时，才能使复杂问题简单化，提高解题速度，优化解题过程.同时，强化整体思想观念，灵活选择恰当的整体思想方法，常常能帮助我们走出困境，走向成功.