浅析第二换元积分法

钱志良

摘 要： 第二换元积分法既是微积分的难点，又是一种十分重要的积分方法，它难就难在方法比较灵活，学生一般不易掌握.如何破解这一难点，本文从两个方面突破：一是何时用第二换元积分法，二是如何用第二换元积分法.

关键词： 第二换元积分法 方法 技巧

1.何时用第二换元积分法

一般的，当被积函数中包含复合函数，且不能用第一类换元积分时，就要用第二换元积分法，尤其是被积函数中含有根号的不定积分，往往要用第二类换元积分法.

所谓不能用第一类换元积分，是指原积分表达式g（x）dx不能凑成f[φ（x）]·d[φ（x）]，即g（x）dx≠k·f[φ（x）]·d[φ（x）]，其中k为常数.

2.第二换元积分法的一般步骤

3.第二换元积分法的常用技巧

从第二换元积分法的四个步骤中不难看出，关键是如何令适当的x=？（t），使变换后的积分容易求出.当被积函数中含有根号，运用第二换元积分法时常用以下技巧，最终达到去掉根式的目的.

3.1被开方数是关于的一次多项式，即根式时

此时一般可令t=来去掉根式.

3.2被开方数是关于x的二次多项式时

此时必须用三角代换，才能最终消去根式，且在最后还原时，往往通过作一辅助直角三角形，根据解直角三角形找到其他三角函数值，从而简化还原运算.