浅谈动点产生特殊三角形的解决模型

胡宝新

近年来，以动点产生特殊三角形常常被命制成中考数学压轴题，这类问题失分率较高，笔者尝试用建立模型与构图对中考真题进行剖析，并揭示解题策略.

一、动点产生等腰三角形

例1（2013年云南大理等八地市）如图，四边形ABCD是等腰梯形，下底AB在x轴上，点D在y轴上，直线AC与y轴交于点E（0，1），点C的坐标为（2，3）.

（1）求A、D两点的坐标；

（2）求经过A、D、C三点的抛物线的函数解析式；

（3）在y轴上是否在点P，使△ACP是等腰三角形？若存在，请求出满足条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由.

1.模型

通常在判定等腰三角形时，会确定一条边，这条边可能为底，也可能为腰，则可能出现两种模型.

2.构图

根据模型分析，试题构图为：

（1）作定边长AC的垂直平分线与y有交点（如图一（1））；

（2）分别以定长AC的两个端点为圆心，以定长AC为半径画圆，圆与y有交点（如图一（2）、图一（3））.

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4.真题再现

2012年江苏省扬州市第27题，2015年烟台市第24题.

二、动点产生直角三角形

例2（2012年云南）如图，在平面直角坐标系中，

（1）求抛物线的解析式.

（2）过点A作AC⊥AB交x轴于点C，求点C的坐标.

（3）除点C外，在坐标轴上是否存在点M，使得△MAB是直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

1.模型

通常在判定直角三角形中，会确定一条边，这条边可能是直角边，也可能是斜边，则可能出现两种模型.

2.构图

根据模型分析，试题构图为：①以定长AB为直角边，在两端点作直角（如图二（1））；②以定长AB为直径作圆，理由是直径所对的圆周角是直角（如图二（2））.

4.真题再现

2015年宜宾市第24题，2015年连云港市第27题；2015年益阳市第21题；2015年云南省第23题.

三、动点产生相似三角形

例3（2013年曲靖）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+4与坐标轴分别交于AB两点，过A、B两点的抛物线y=-x+bx+c，点D为线段AB上一动点，过点D作CD⊥x轴于点C，交抛物线于点E.

（1）求抛物线的解析式.

（2）当DE=4时，求四边形OAEB的面积.

（3）连接BE，是否存在点D，使得△DBE和△DAC相似？若存在，求出点D坐标，若不存在，说明理由.

1.模型

通常在判定相似三角形时，会确定一个角，应用相似三角形的判定及相似三角形比例之间的关系建立方程，本题中出现两种模型.

2.构图

根据模型分析，试题构图为：①BE//AC，即△ACD和△BED相似（如图三（1））；②EB垂直AB即△ACD和△EBD相似（如图三（2））.

图三（1） 图三（2）

3.思路点拨

（1）（2）略，（3）存在所求的D点，若BE//AC，即△ACD和△BED相似，求得D（-3，1）；若EB垂直AB即△ACD和△EBD相似，则D（-2，2），但要充分利用相似三角形比例线段之间的关系.存在点D（-3，1）或（-2，2）.分类讨论是本题的难点.

4.真题再现

2015年云南省昆明市第23题，2015年潍坊市第24题，2014年云南第23题，2014年浙江省湖州市第24题，2011年昆明市第25题，2010年曲靖市第24题.

总之，用建立模型与构图解决动点产生的特殊三角形，做到解一题会一类，形成一种知识模块，内化为自己的经验和能力.