培养三种能力，突破立体几何学习瓶颈

刘道梅

对于高中生来讲，虽然已经掌握了平面几何的基础知识，但要进一步学好立体几何并不容易.因为从平面观念过渡到立体观念，即：平面上的“立体”感，对一般学生来说，困难较多.原因是立体几何比平面几何研究的基本对象多了一个“面”，而这多出的一个“面”，使得在平面几何中点和直线之间的三种位置关系（即点与点、点与直线、直线与直线）拓展为立体几何中点、直线和平面之间的六种位置关系.在教学中，学生把空间角看做平面角、不会在纸上画立体图形等现象频频出现，影响了学习的积极性和效果，甚至使一些学生畏惧这门课.针对教学实践中经常发生的这些问题，笔者认为，要学好立体几何，必须加强对学生空间想象力、逻辑推理能力和转化能力的培养，才能有效突破立体几何学习瓶颈.

一、建立立体观念，培养空间想象力

做到能想象出空间图形并把它画在一个平面（如纸面或黑板）上，能根据画在平面上的“立体”图形想象出原来空间图形的真实形状.为了培养空间想象力，可以在刚开始学习时动手制作一些简单的实物模型，如直线、平面、正方体、长方体等，或观察所坐的教室，直观地感受点、线、面之间的位置关系，逐步培养自己对空间图形的想象能力和识别能力，想象这些图形画在纸上是什么模样的；同时要掌握画直观图的规则，掌握实线、虚线的使用方法，可从简单的图形（如直线和平面的各种位置关系）、简单的几何体（如正方体）画起，由对照模型画图，逐步过渡到没有模型摆在面前，也能正确地画出空间图形的直观图，而且能由直观图想象出空间图形.在这个“想图、画图、识图”的过程中，不仅空间想象能力得到提高，抽象思维能力也得到很大提高.

二、依据公理、定理，培养逻辑推理方法能力

立体几何的研究方法与平面几何类似，即培养学生的逻辑思维能力.在教学中发现学生在立体几何证明的过程中，常出现以下两种错误：一个是学生逻辑思维能力差而导致的证题思路上的错误，另一个是学生的语言表达能力差而导致的书面表达上的错误.例如立体几何课本第5页公理3的推论1：“经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.”学生常常这样证明：A是直线a外一点，在a上任取两点B、C，则A、B、C三点不共线.根据公理3，经过不共线三点有且只有一个平面a，又点B、C都在平面a内，即过直线a和点A有且只有一个平面.当然，这样证明是不全对的，它的证明过程有这样一个逻辑错误：即把过A、B、C三点的平面构成的集合与过直线a和点A的平面构成的集合先承认是两个相等的集合，从而由第一个集合有且只有一个元素导出第二个集合有且只有一个元素.正确的逻辑推理应该是这样的：先证明上面的第二个集合包含于第一个集合，从而由第一个集合有且只有一个元素导出第二个集合最多只一个元素；其次证明第二个集合确实只有一个元素，最后得出第二个集合有且只有一个元素的结论.

由此不难看出，要学好立体几何，必须注重逻辑推理能力的培养，那些看起来简单的基本概念、公理和定理，不仅要理解它们，还要熟练地记忆它们，掌握它们之间的联系.同时对基础的题目必须从一开始就认真书写证明（或求解）过程，包括已知、求证、证明、作图等，证明过程要特别注意所运用的公理、定理的条件，符号表示与定理完全一致，定理的所有条件都具备了，才能推出相关结论.在论证问题时，思考应多用分析法，即逐步找到结论成立的充分条件，向已知靠拢，然后用综合法，掌握定理证明的逻辑推理过程及渗透的教学方法.

三、举一反三，培养“化归”、“转化”的数学能力

解立体几何的问题，要充分运用“转化”这种数学思想，要明确在转化过程中什么变了，什么没变，有什么联系，这是非常关键的.例如：面和面平行可以转化为线面平行，线面平行又可转化为线线平行，而线线平行又可以由线面平行或面面平行得到，它们之间可以相互转化.同样面面垂直可以转化为线面垂直，进而转化为线线垂直.通过转化可以使问题得以大大简化.如将立体几何问题转化为平面问题，又如将求点到平面距离的问题，或转化为求直线到平面距离的问题，再继而转化为求点到平面距离的问题；或转化为体积的问题.一方面从已知到未知，另一方面从未知到已知，寻求正反两个方面的知识衔接点——一个固有的或确定的数学关系.在求异面直线所成的角时可以通过找或作平行线转化为平面几何的知识.

上述三种能力的培养，是相互联系、相互促进、不可分割的.同时在对学生这些能力的培养中应循序渐进、坚持不懈，把对这些能力的培养贯穿于学生学习立体几何的全过程.