用概率玩游戏

方弦

除了应用于那些高大上的金融行业外，概率论还能为我们设计一些小小的消遣游戏。毕竟人们虽然希望避免天灾人祸这样巨大的不确定性，但却十分欢迎无伤大雅小小的不确定性。一场游戏，一局胜负，就能换来大家的欢笑。在桌上弹跳的骰子，在指尖翻动的硬币，都能给我们带来紧张刺激的乐趣。

既然偶有闲暇，何不玩个小游戏？

完全公平的对决

与纸币相比，虽然硬币的流通价值通常不大，但它却具有一个保卫世界和平的职能——解决各种争端。据说，当遇到不可调解的分歧时，为了做出决定，人们的首选往往是猜拳，其次就是抛掷硬币。就连足球赛场上开球方的选择，也是由硬币决定的。

如果一枚硬币两面的性质（如重量、材质等）完全一样，那么掷出正面或者反面的可能性显然是均等的——应当是50%与50%。但事实却并非如此，由于设计的原因，硬币正反面的花纹是不一样的，从而导致了重心与中心的微小偏差。

以人民币一元硬币为例，正面是代表面额的“1”字，而反面则是菊花，那么重心就会稍微偏向反面；欧元就更麻烦了，不同欧元区国家的铸币厂会打造出不同的背面花纹，因此重心偏向也因这些花纹而异。正是因为这小小的重心偏向，导致我们在掷硬币时，正反面出现的概率也会有些许偏差。幸好因花纹导致的概率偏差非常小，我们在日常生活中往往可以忽略不计。

但是，我们有没有办法修正这个偏差呢？或者，至少能找到一个方法，让有重心偏向的硬币产生无偏差的结果，使游戏尽量公平呢？

我们假设某枚硬币掷出正面的概率是p，并用以下方法产生抛掷硬币的结果：掷两次硬币，如果两次的结果相反，则认定后掷出的情况为结果，否则重新再掷两次。更具体地说，如果结果是“反正”的话，那就当作掷出了正面；如果是“正反”的话，那就认定结果为反面；如果是“正正”或者“反反”的话，那就重新再来。

在这样的游戏设定中，每次抛掷硬币，结果为正面或反面的概率都是p（1-p），显然是完全公平的。以后再跟你的朋友玩硬币游戏的时候，切记使用这个方法，并告诉他：“这是理性的科学！”

掷硬币排先后

如果你和你的小伙伴需要决定游戏时的先后顺序，那么抛硬币应当是个很好的解决方案。但如果小伙伴不止一位的话，单靠硬币可能就不太容易解决问题了。

假设我们要从四个人里公平地选出一人，那么共掷两次硬币，并将四种不同的结果（正正、正反、反正、反反）分别指派给每个人，掷出哪种结果就选哪个人，这个方法似乎还是挺方便的。当然，只有总人数为偶数时，才可以使用这种方法，但如果只有三个人呢？

面对这种情况，我们还有一种比较容易的解决方法：还是抛掷两次硬币，并将正正、正反、反正三种结果指派给三个人。如果掷出的结果是指定的结果之一，那么就选出对应的人。当然，如果我们运气不好，掷出“反反”的结果，那就重新开始另一轮的硬币抛掷。

显然，这种方法保证了游戏的公平性。因为在每轮硬币抛掷中，每种结果出现的概率都是相同的。但万一我们一连好几轮都掷出“反反”，那这种方法会不会过于浪费时间了呢？

不可能！我们不妨计算一下，每轮掷出“反反”重新开始的概率恰好是1/4，而n轮都出现如此情况的概率应当是1/4的n次方。当n越来越大的时候（即抛掷硬币轮数越来越多），这个概率会迅速变小。如果n=5，那么数值已经变成1/1024了。试想一下，3个骰子同时掷出“6”的概率也仅有1/216而已。

其实直观来看，一轮抛掷无法决出结果的概率也并不高，所以这个方法应当不会耗费我们太多时间。更严格的计算表明，用上述方案从三个人中选出一个，平均只需要抛掷8/3次硬币就能得出结果，算起来也只比两次多一点点而已，说明这种方法相当有效。

这种方法可以推广到任意人数，而且平均需要投掷硬币的次数也一定不会太多。事实上，不论使用哪种方法，随着人数的增长，平均投掷次数也一定会相应增加。

杯子下的鸡蛋

你一定看到过魔术师常常用杯子、鸡蛋和硬币作为道具，向观众展示他的魔法。假如今天我们的游戏也有三个不透明的纸杯，倒扣在桌上，其中分别藏着两枚硬币和一个鸡蛋，然后由你的朋友偷偷将它们的位置随机打乱，而你的任务就是指出鸡蛋的正确位置。如果只有一次机会，显然你完成任务的概率只有1/3。

如果你的朋友还愿意给你一点帮助，那结果会有所改变吗？当你指定一个杯子藏有鸡蛋后，那么其余的两个杯子中至少有一个藏着一枚硬币。这时，如果你的朋友在那两个杯子中，打开了一个藏着硬币的杯子，那么你该如何选择？是依旧坚持原来的决定，还是换另一个杯子？也许你会问，这两个选择之间有什么不同吗？既然已经有一个藏着硬币的杯子打开了，那选择剩下两个杯子中的任意一个不都一样吗，换与不换有什么区别呢？

如果我们换一种思考方式，得到的结果就会大不相同。假如你还是坚持原来的选择，那么无论你的朋友在游戏中途做了什么，都不会影响你的获胜概率——仍旧和原来一样，是1/3。但如果你更换选择，那么获胜概率就会变成2/3。这究竟是什么原因，为什么换一个杯子会让你的获胜概率提高1倍呢？

让我们来做一个详细的概率分析。如果一开始你就选择了正确的杯子，那么换杯子的确会导致失败，但这种情况发生的概率只有1/3。但如果一开始你就没有选对杯子，那么剩下的两个杯子中就一个是硬币，一个是鸡蛋。由于你的朋友给了你一点小帮助，那么很显然，剩下的那个杯子里藏有鸡蛋。如果此时你更改选择的话，必然能完成任务，而这种情况发生的概率则是2/3。

其实我们不难理解，之所以换与不换的结果有差别，就是因为你的朋友知道鸡蛋在哪里。而他通过打开一个藏有硬币的杯子，间接地帮助你缩小了范围，确定了答案。

这个问题又被称为“三门问题”，其基础模型正是出自那档著名的美国电视节目《Let’s make a deal》。在节目中，选手会面对一个大屏幕，大屏幕上有3扇门，其中两扇藏着羊，另一扇则藏着汽车，能选出藏有汽车那扇门的参赛者就能开走它。游戏的玩法与上述的硬币、鸡蛋游戏如出一撤。如果我们能掌握点概率学知识，说不定关键时刻就能得偿所愿！

当然，除了应付这些小游戏外，概率论还能在很多“大游戏”中一显身手。譬如在网游中，如何更有效地获取稀有道具；或是在特定情境下，如何在增加一倍攻击力和拥有10%概率打出10倍暴击的道具间做出选择。这些问题都能由概率论给出答案。

虽然概率的美妙之处就在于它的随机性和不确定性，但我们不得不承认，玩游戏时用概率，算算更有趣！

让我们准备3张卡片，1号卡片正反面都是黑色（A与D），2号卡片正反面都是红色（B与E），3号卡片一面是黑色、另一面是红色（C与F）。然后把卡片放进一个盒子里，摇一摇，让对手抽一张平放在桌子上，接着和他赌反面的颜色和正面的一样。

直觉告诉我们，获胜的概率应当是1/2，但事实上并非如此。在这个被称为“三张卡片的骗局”的游戏中，你的获胜概率究竟是多少呢？