由四边形的分类所引发的思考

陈安宁

【摘 要】分类思想是一种很重要的数学思想方法，在解决数学问题时，应用分类讨论思想，通过正确分类，可以使复杂的问题得到清晰、完整、严密地解答，使学生理解数学概念的本质属性。

【关键词】分类思想    原因    对策      四边形

一、问题的提出

在中知网上不经意间拜读了陈祥彬老师发表在《课程·教材·教法》（2010）一篇题为《在小学数学中渗透数学思想方法》的论文。该论文在介绍分类思想方法时，有如下一段文字：分类必须遵循三条基本原则：一是标准同一性原则;二是不重复、不遗漏的原则;三是层级性原则。例如，对小学数学中的四边形分类，首先应将四边形分成平行四边形、梯形和任意四边形，再将平行四边形分成一般的平行四边形和长方形（特殊的平行四边形），最后将长方形分成一般的长方形和正方形（特殊的长方形）。笔者觉得陈老师在对四边形分类时，没有遵循其论文所提出的标准同一性与不重复、不遗漏的原则。一是这里所要划分的四边形本身就是任意四边形，就不能在划分的子概念中再次出现任意四边形（重复）;二是没有明确划分标准，导致划分出平行四边形和梯形后，剩下的四边形无法准确描述，就用任意四边形来代替，这是极其不严谨的。笔者由此想到在教《中学数学教学论》等课程时，对数学概念分类提出的思考题：任意四边形可以划分为哪些特殊的四边形？学生的回答令笔者感到很是意外，答案五花八门。除了平行四边形和梯形外，有不规则四边形、特殊四边形、长方形（矩形）、菱形、任意四边形等等，基本上没有回答准确的，即两组对边都不平行的四边形！这说明在中小学数学教学中对分类思想重视不够，导致学生对所学概念含混不清、外延模糊等。这些问题的存在激发了作者进一步思考、探究的愿望，以求找到这种现象产生的根源及解决策略。

二、原因分析

分类的思想方法是指把被研究的某个数学问题看成一个整体，然后根据一定的分类标准将整体划分为不相容的几部分，通过对各个部分的分析，实现对原问题的解决。那么学生为什么对诸如四边形分类这样的问题回答不准确，甚至回答比较离谱呢？笔者在课后与学生进行交流，并与同行进行研讨，经过深刻反思，归纳主要有如下原因：

1.在概念教学中，教师对数学概念分类的意义、标准、原则、方法解释不到位

在数学概念的学习过程中，教师对概念为什么要进行分类及分类的意义未做说明，只是将所学概念进行简单的分类，让学生知道就行了，至于分类的标准、原则及方法等只字不提，导致学生对概念的学习仅仅停留在比较低的层面上。例如自然数、四边形、三角形等概念的分类。

2.教师对分类思想渗透不够，导致学生对分类思想体会、领悟不透彻，不会运用分类思想解决问题

理解与掌握数学概念是学好数学知识、提高数学能力的关键。但是在目前的数学教学中，对概念的教学是不尽如人意的，以致学生在学习中表现出概念不清、运算不准、推理不严、画图不明等现象。一个很重要的原因就是有的教师在概念教学中不注重分类思想的渗透，学生对所学概念的来龙去脉不清楚，对概念之间的关系比较模糊，无法体会、领悟分类思想在数学学习中的重要作用，也就无法准确理解概念的内涵与外延。

三、加强分類思想教学的对策

1.在概念教学中应让学生明确分类的意义，逐步渗透分类意识

学习数学经常会遇到分类问题，当知识积累到一定程度就需要运用分类、归纳的思想来帮助学生厘清概念间的关系，建构自己的知识网络。如数的分类、图形的分类、代数式的分类、函数的分类等。这就需要教师在日常教学中根据学生实际，结合教材特点，创设情景，启发诱导，遵照循序渐进、逐步深化的原则，有意识地突出分类思想，并在具体知识中努力体现、揭示分类思想的本质，从而逐步渗透分类意识，使学生逐步领悟和接受解决问题中的分类思想，体会分类的基本原则（不重复不遗漏），明确分类思想是解决某些数学问题的一种重要的、有用的思想方法，体会分类的完整性和严谨性。如前文提到的四边形分类，只要学生明确了分类的标准——对边是否平行，那么分出平行四边形（两组对边都平行）、梯形（一组对边平行另一组对边不平行）后，学生自然就会知道剩下的只能是两组对边都不平行的四边形。如若不然，对象混杂，标准不一，就会出现遗漏、重复等错误。

2.在教学过程中让学生体会分类思想，进而总结与强化分类思想

一方面，数学教材中很多定义、定理、公式本身是分类定义、分类概括的，教师在教学过程中，可以让学生通过类比、观察、分析、综合、概括等方式，在学习中逐渐体会分类思想的本质， 增强学生的分类意识，逐步形成对数学分类思想的理解和应用能力。如解参数方程及不等式，探究三角形的某些属性时，就必须对参数及三角形的形状进行分类讨论，等等。另一方面，在数学教学过程中，分类讨论往往能使一些错综复杂的问题变得异常简单，解题思路非常清晰，步骤非常明了。因此，强化分类思想方法就成了数学教学一个很重要的任务。教师在教学有关可以渗透分类思想的内容时，要让学生充分认识到：只有通过分类讨论后，采取分而治之的方法各个击破，得到的结论才可能是完整的、正确的，也才有可能理解数学概念的本质。同时，通过解题教学，不断强化分类讨论的意识，让学生吸收、内化分类思想的精髓，培养学生思维的条理性、缜密性，从而提高学生的综合数学素养，最终达到对学生进行思想观念层次上的数学教育。

总之，数学中的分类讨论思想是一种比较重要的数学思想，自觉地重视和加强分类思想的教学，是实施素质教育的基本要求，也是培养学生创新精神与探索精神的重要途径。在教学中，我们要多研究、多实践、多探索，让学生更好地掌握好数学中的分类思想。

【参考文献】

[1]陈祥彬.在小学数学中渗透数学思想方法[J].课程·教材·教法，2010（7）：38.

[2]肖柏荣，潘娉姣.数学方法论及其教学示例[M].南京：江苏教育出版社，2008：68.