蛇与田鼠捕获系统的稳定性分析

刘玉丽,荣鸿利,姜玉秋

(吉林师范大学 数学学院,吉林 长春 130103)

据报道，2005年6月，湖南省洞庭湖区突然爆发了10年来最大的一场鼠灾，省农业厅植保站专家们深入分析了田鼠爆发的一个主要原因就是蛇类减少，他们呼吁一定要吸取教训，保持生态平衡.为了保护生态稳定，在保持庄稼产量的情况下，以洞庭湖区这个小环境D为例，来研究蛇和田鼠的个体数量随时间变化的趋势，为了使两种群共同生存并达到稳定的状态，用数值模型来讨论蛇和田鼠的变化情况.

为了便于分析研究，给出相关定理.

设n维自治系统

(1)

的解是x(t)=(x1(t),x2(t),…,xn(t))T.

1 系统分析

假设在洞庭湖区的捕食者(蛇)和食饵(田鼠)种群处于正常生存状态下，不分个体大小，而且没有个体向其输入和输出.那么在t时刻时,两个物种的增长情况同时满足以下方程.

(2)

(3)

计算V(x,y)沿着式(2)解轨线的全导数得

(4)

当

Δ=(αb-βc)2-4αβad<0

(5)

根据定理2可得，当abcd>0，r1d+r2b>0，cr1-ar2>0时，即当cr1-ar2>0时，系统(2)存在且有惟一的正平衡解D(x*,y*)，它是全局一致渐近稳定的.即蛇和田鼠数量分别达到x*,y*时，可以共存并处于稳定的状态.

利用Matlab程序模拟出系统(2)在平衡点D(x*,y*)附近过不同初值点的轨线，如图1所示.

图1 蛇与田鼠两种群数量变化图

2 主要结果的生物学意义

通过对模型的分析，我们找到了最适合捕食者与食饵生存的数量D(x*,y*)，这样使蛇与田鼠可以维持生态平衡.蛇经常作为餐桌上的美食而被人们大量捕杀，致使数量迅速减少而无法控制田鼠的数量，导致农作物的产量因鼠害而锐减.这样在自然状态下，我们可用此模型的平衡点D(x*,y*)来进行人为干预，当田鼠种群繁殖数量增大时，可以引入蛇来控制田鼠的增长速度，使两种群的数量在各自的环境容纳量下达到各自的平衡点x*,y*，从而实现了保护庄稼并抑制田鼠数量的目的.