基于复数信号的三阶累积量微分性质研究及应用

吴文兵，梅二召，欧阳鑫，李川

(昆明理工大学信息工程与自动化学院，云南昆明650500)

在机械故障诊断中，当机械设备产生故障时，频谱能量分布情况通常有所改变，以此诊断机械故障。然而，功率谱分析的一个最大缺陷是它不包含频率成分间的相位信息，通常也无法处理非最小相位系统和非高斯信号。

高阶统计量(higher-ordered statistics)方法因其对多种噪声都有很好的抑制作用逐渐成为信号处理的新热点，它不仅对自相关的加性噪声不敏感，而且对非高斯有色噪声也不敏感，因此在非高斯性、非线性、非最小相位、非平稳性、高斯有色噪声处理中发挥了重要的作用。

目前，高阶累积量在机械故障诊断中的研究已经很广泛。邵忍平等人将双谱应用于齿轮损伤检测［1-3］，黄宜坚等人将三谱应用于调速阀的故障诊断［4-5］，均取得了良好效果。

上述对于高阶谱的应用都是在实数信号范围内进行的，W.R.Raghuveer等和国内学者王树勋等对复数信号的高阶累积量的耦合性质进行了深入研究，明确指出了各种复数高阶累积量的不同定义形式的耦合特征［6-8］。文献［9-10］利用这种耦合性质进行了液压阀故障诊断。

在此基础上，本文对复数三阶累积量采取微分的方法，以改变参加耦合的频率信息在耦合后的三阶累积量的振幅中所占的比例，同时由于维谱能够很好地反应信号的耦合，因此，根据微分后三阶累积量的维谱进行故障诊断，以研究微分后和微分前的三阶累积量在故障诊断中的不同表现。

1 复数三阶累积量

设{x(n)}为零均值k阶平稳随机过程，则该过程的三阶累积量为［9］

在式(1)中，令x(n)为复数信号，且x(n)=，其中，谐波分量ω3是由谐波分量ω1和ω2通过二次相位耦合而成的，且ω3=ω1+ω2，即x(n)为发生了耦合的信号。根据文献［7］，x(n)取共轭与否其三阶累积量将具有不同的定义方式，不同的定义方式将包含不同的耦合方式，见表1。在表1中，无论何种定义，其三阶累积量的振幅中都没有包含频率信息，考虑到频率信息在故障诊断中的重要作用，故对x(n)进行微分，即令y(n)=dx(n)/dn，然后按照表1的方式求y(n)的三阶累积量，见表2。在式(1)中令τ1=τ2=τ，即得到三阶累积量对角切片c3x(τ，τ)，再对c3x(τ，τ)取傅里叶变换，即得到维谱:

表1 x(n)的三阶累积量Table 1 The third order cumulants of x(n)

表2 y(n)的三阶累积量Table 2 The third order cumulants of y(n)

对比表1和表2可以看出，在定义2方式下，经过一次微分以后，三阶累积量的振幅由A1A2A3变成了A1A2A3ω1ω2ω3，经过同样的分析可以得出，如果进行2次微分，则x(n)的三阶累积量的振幅将变为，如果进行n次微分，则x(n)的三阶累积量的振幅将变为，即随着微分次数的增加，发生了耦合的信号的频率对于其三阶累积量的振幅影响越大，定义3方式类似。考虑到频率因素在故障诊断中的重要影响，本文将利用这一特性进行调速阀的故障诊断。

2 模拟微分器

模拟微分器的频率响应函数为［11］:

其冲击响应函数为

式中:i为整数。数字微分器的冲击响应:

式中:kd为微分器的无量纲截止频率，kd=ftfm=2ftTs，B=P kd(n-M0)(n=0，1，2，…，2M0-1)。fm为信号的有限带宽，ft为H(f)的截止频率，Ts为采样间隔，M0为汉宁窗函数的半窗宽度。将采样得到的测试数据h(n)做卷积计算即可获得其微分信号。

3 容量维

维谱的容量维数。计算相似比时，本文采用方块填充被测对象，统计覆盖所需的方块数来计算其维数，方块大小由0.1递减到0.002，以此方法计算容量维数。如果用长度为r尺子去测长度为L的线段，L与r之比为N。N值的大小与r长短有关，r越小，N越大。对于Dc维物体:

取对数得容量相似维数:

4 数据采集

本实验研究的机械振动部件为调速阀。在实验过程中，利用NI的软件LabVIEW 及 PCI-6014的数据采集卡、PS-3030D型直流驱动电源、分辨率为0.1的ST-1-03型电涡流位移传感器来进行振动信号的数据采集，依次采集正常状态和故障状态下的阀体的动信号。实验中设置5种故障。在测试过程中，将油压(1～5 MPa)分为 5组，采样频率设为1 024 Hz，读取频率为512 Hz。本文进行的实验人为设置了如下故障:1)使节流阀后腔弹簧变形;2)弹簧里加异物;3)拔掉节流阀后腔圆柱体铁芯;4)将阀内的圆柱体铁芯换成垫片;5)将故障2和故障4相结合。本文实验使用的数据个数为1 024个。

由于测试过程中系统外部和内部各种因素的影响必然在输出过程中夹杂着不需要的成分，本文采用中值法对采集的振动信号进行预处理剔除混杂在信号中的干扰噪声。滤波后的信号如图1所示。

图1 滤波后信号Fig.1 The filtered signal

本文为了进行故障识别，将实验中测得的正常状态和故障1状态的21组数据，在经过过Hilbert变换后，分别按式(2)，计算出这些数据的维谱，本文在正常状态选择当油压为1 MPa的一组数据，故障状态下当油压为3 MPa、5 MPa时各1组数据的维谱进行图示，见图2，其中维谱由根据表1中计算出的复数三阶累积量对角切片，直接调用FFT函数得到。图中x轴表示角频率，单位为rad，纵轴表示归一化后的幅值大小，无量纲。接着再对上述同样的3组数据，在经过一次、四次和八次微分后的维谱进行图示，见图3～5，由于定义2方式的维谱保存的是耦合后的频率分量，可以看出，随着微分次数的增加，各组数据的谱峰变得越来越集中，越来越尖锐，这应该就是三阶累积量中的频率分量发生作用的结果。随着微分次数的增加，正常状态和2组故障状态的数据之间，从其维谱的谱峰分布的位置、密度和强度来看，区分变得越来越明显。

图2 定义2方式未微分数据维谱图Fig.2 The dimensional spectrum of definition in mode 2 with No order differential

图3 定义2方式一次微分数据维谱图Fig.3 Thedimensional spectrum of definition in mode 2 with 1 order differential

图4 定义2方式四次微分数据维谱图Fig.4 Thedimensional spectrum of definition in mode 2 with 4 order differential

图5 定义2方式八次微分数据维谱图Fig.5 Thedimensional spectrum of definition in mode 2 with 8 order differential

6 实验结果

本文为了有效判别故障，利用容量维作为工具，通过计算原始信号经过Hilbert变换后得出的复信号在正常状态和3种故障状态下按3种不同定义方式得出的维谱的容量维数进行故障判别［13］。

在定义2方式下，将正常状态和故障1状态(一共21组数据，其中正常状态10组，故障1状态11组)每组原始信号经过Hilbert变换后得出的复信号按式(2)求出维谱，再分别求出每组数据维谱的容量维数，为了对结果进行有效观察，特绘制点折线图，见图6。从图6中可以看出，正常状态和故障1状态下信号的容量维数在整体上难以区别，然后再将未经Hilbert变换的实数信号、Hilbert变换后的复数信号在定义1和定义3的方式进行同样的计算，其结果和定义2方式差不多。

然后对经过Hilbert变换后得出的复信号进行微分，再重复上述步骤，得出图7的结果。从图7可以看出，正常状态和故障1状态下信号的容量维数值在整体上仍然难以区别。

继续增大微分次数，图8显示的是四次微分后得到的结果，从图8可以看出，正常状态和故障1状态下信号的容量维数值的可区分度开始变好，以正常状态第4个数据点作为分界值，即以容量维数大于或等于1.174 7判断为正常状态，以小于1.174 7判断为故障1状态，则对于正常状态来说，误判的数据个数是1个，故障1状态误判的个数为5个，总体正确率为70%。当微分次数达到8次的时候，结果示于图9。

图6 未微分数据定义2方式正常状态和故障1状态模拟结果图Fig.6 State simulation results of normal state and fault 1 state with No order differential in mode 2

图7 一次微分数据定义2方式正常状态和故障1状态模拟结果图Fig.7 State simulation results of normal state and fault 1 statewith 1-order differential in mode 2

图8 四次微分数据定义2方式正常状态和故障1状态模拟结果图Fig.8 State simulation results of normal state and fault 1 statewith 4-order differential in mode 2

图9 八次微分数据定义2方式正常状态和故障1状态模拟结果图Fig.9 State simulation results of normal state and fault 1 state with 8-order differential in mode 2

从图9可以看出，正常状态容量维数值分别为1.1910、1.174 7、1.179 6、1.171 6、1.219 3、1.182 0、1.117 8、… ;故障1状态八次微分后维谱容量维数值分别为 1.151 3、1.263 1、1.105 2、1.151 6、1.147 0、1.129 9、1.163 6、… 。如果以正常状态第10个数据点作为分界值，即以容量维数大于等于1.1558判断为正常状态，以小于1.1558判断为故障一状态，则对于正常状态来说，误判的数据个数是1个，故障一状态误判的个数为2个，总体正确率为85%以上。如果继续增大微分次数，其正确率没有继续上升，甚至开始下降。在整个增大微分次数进行故障诊断的过程中，诊断正确率先是随着微分次数的增大而增大，到达一个极值后，则不再增大甚至下降。

在定义1方式下进行同样的步骤，在微分次数为5次时，诊断正确率达到最大值约70%，但诊断正确率和微分次数之间却没有像定义2方式那样的同时增大的线性关系，而是呈现出一种没有关联性的关系。而在定义3方式下所得到的结果，比定义1方式要好，但比定义2方式要差。

7 实验结果分析

8 结束语

复数三阶累积量的不同定义形式决定了其包含了不同的耦合信息，这种不同的耦合信息必然反应到由其得出的维谱中。本文通过对耦合信号进行微分运算，使其三阶累积量的振幅中包含了耦合信号的频率信息，并且这种频率信息随着微分次数的增多而加大，之后再利用微分后的三阶累积量得出维谱，再通过计算容量维进行故障诊断实验，结果表明，微分后包含在三阶累积量中的频率信息有利于提高故障诊断正确率。

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