关于Green算子的Orlicz范数估计

李华灿，　李群芳，　李师煜（．江西理工大学理学院，江西 赣州34000；.赣州师范高等专科学校数学系，江西 赣州34000）

关于Green算子的Orlicz范数估计

李华灿1，李群芳2，李师煜1
（1．江西理工大学理学院，江西 赣州341000；2.赣州师范高等专科学校数学系，江西 赣州341000）

满足特定调和方程的微分形式的经典范数不等式在偏微分方程、位势分析以及工程技术领域有着广泛的应用.基于满足A-调和方程的微分形式的Ls-范数不等式，文中首先证明了有界域上作用于微分形式的Green算子的局部Orlicz范数估计，然后把上述结果推广到Lφ-平均域上，进而得到对应的全局的Orlicz范数估计.

Orlicz范数；Green算子；微分形式；平均域

0　引言与预备知识

目前，关于微分形式的研究已取得了丰硕的成果，并广泛应用于理论物理、广义相对论、位势理论和电磁学等自然科学和工程技术的许多领域.例如，微分形式可用来描述各种形式的微分方程和流形上的几何结构，其有关结果也经常用来研究弹性物体的变形以及相关极值的积分和几何不变性，函数和微分形式的范数估计同样对研究偏微分方程解的性质起着至关重要的作用.近年来，满足各种形式调和方程的微分形式的Lp范数估计已经取得了比较完善的结果，见文献 ［1-11］.然而，关于微分形式的Orlicz范数估计的研究还不够完善.2004年，美国华盛顿大学丁树森博士在文献［8］中首次把Ls-平均域推广到Lφ-平均域，从而Ls-平均域可作为Lφ-平均域的一种特殊形式.本文的目的在于将Green算子Ls-的范数不等式‖G （u）-G （u）B‖p，B≤Cdiam（B）‖u‖p，B推广到Lφ-平均域上，得到全局的Green算子的Orlicz范数不等式.

本文假定Ω为Rn中的一个连通开子集，M为Rn中有界凸域，B为一球体，ρB表示与B同心且diam（ρB）=ρdiam（B）的球体.用∧l=∧l（Rn）表示由外积eI=ei1∧ei2∧…∧eil所生成的l-维线性向量空间，其下标所对应的有序l-丛I=（i1，i2，…，il），1≤i1＜i2＜…＜il≤n，l=1，2，…，n.记D′（Ω，Λl）为Ω上所有的可微l-形式构成的空间，定义外导数d:D′（Ω，Λl）→D′（Ω，Λl+1）为

且它的形式共轭算子d*:D′（Ω，Λl+1）→D′（Ω，Λl）为d*=（-1）nl+1*d*，进一步定义Laplace-Beltrami算子△=dd*+d*d，其中

若φ：［0，+∞）→［0，+∞）是连续凸增函数且φ（0）=0，则称φ为 Young函数.本文通篇用φ表示Young函数.对Ω上任一可测函数f，如果存在一依赖于f的常数λ=λ（f）＞0，使得∞，则记f∈Lφ（Ω）.定义Orlicz空间Lφ（Ω）中的下列范数

为Orlicz范数.记K（Λk，Ω）=｛u∈W （Λk，Ω）：d u= d*u=0，u∈Lp，其中1＜p＜∞｝为一个调和k-场，K⊥=｛u∈L1:＜u，k＞=0，k∈K｝为K中L1中的正交补，其中W（Λk，Ω）=｛u∈L1loc（Λl，Ω）:u有一个广义梯度｝，＜u，k＞表示微分形式u，k的内积.定义Green算子G：C∞（Λk，Ω）→K⊥∩C∞（Λk，Ω）是 K⊥∩C∞（Λk，Ω）中唯一满足方程△G（u）=u-H（u）的元素.本文通篇用G表示Green算子.

1　定义及引理

定义 1［12］如果算子 A：Ω×Λl（Rn）→Λl（Rn），B：Ω×Λl（Rn）→Λl-1（Rn）对几乎所有的x∈Ω以及所有的 ξ∈Λl（Rn），满足①②则称下面的非线性微分方程

为非齐次A-调和方程，其中a，b＞0，1＜p＜∞.

定义2［13］设g（t），h（t）分别是定义在［0，+∞）上的凸增函数和凹增函数，如果对任一t＞0，均存在一组常数（p1，p2，C）满足①1/C≤φ（t1/p1）/g（t）≤C；②1/C≤φ（t1/p2）/h（t）≤C，则称φ∈G（p1，p2，C）.其中1≤p1，p2＜+∞，C≥1，φ是一个定义在［0，+∞）的Young函数.

如果g（t），h（t），φ（t）满足定义2，文献［13］可以找到关于函数g（t），h（t），φ（t）的下面结果：

定义3［8］设φ：［0，+∞）→［0，+∞）是凸增函数且φ（0）=0，如果E是Rn中的一子域满足条件：①＜∞；②如果存在常数C及E中的一固定球体B0，使得则称E是Lφ-平均域.其中常数0＜τ，σ＜∞，φ）∈L1loc（E）.

引理4［14］设u∈Lp（M，Λk）是一光滑形式，G为Green算子，则对M中的任一球体B，存在一不依赖于u的常数C，使得

其中k=1，2，…，n，1＜p＜∞.

引理5［15］设u是M上非齐次A-调和方程的解，则对任一满足σB⊂M的球体B，存在一不依赖于u的常数C，使得

其中σ＞1.

2　主要结论

定理1（有界凸域上关于Green算子的局部Orlicz范数估计）设Young函数φ∈G（p1，p2，C），M为Rn的有界凸域，u∈C∞（ΛkM）（k=1，2，…，n）是非齐次A-调和方程的解且φ（）∈L1loc（M），则对任一满足σB⊂M的球体B，存在一不依赖于u的常数C，使得

‖G（u）-（G（u）B）‖Lφ（B）≤C‖u‖Lφ（σB），

其中σ＞1，1≤p1，p2＜+∞.

证明：因为h（t）是一个凹增函数，故 h-1（t）也是一个凹增函数，从而由h-1（t）的Jensen不等式及公式（4）可知

由定义2的条件②及引理4、5可得

其中σ＞1.由定义2的条件①及g是凸增函数可得

因为p1≥1，故又B⊂M且M为有界域，从而有≤C7.由凸函数φ的加倍性质可知

综合公式（3）～式（6），可得

由公式（7）及凸函数φ的加倍性质知：对任一正数λ＞0，有

由范数‖·‖Lφ的定义（即公式（1））及公式（8）可得

定理2（Lφ-平均域上关于Green算子的全局Orlicz范数估计）设Young函数φ∈G（p1，p2，C），M为Lφ平均域，u∈C∞（Λk，M）（k=1，2，…，n）是非齐次A调和方程的解且φ）∈L1（M），则存在一不依赖于u的常数C，使得

其中B0⊂M是如定义3所述的一固定球体，σ＞1，1≤p1，p2＜+∞.

证明：综合定义3、凸函数φ的加倍性质及公式（7），可得

结合范数‖·‖Lφ的定义、公式（9）及凸函数的加倍性质，可得

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Orlicz norm estimation for Green’s operator

LIHuacan1，LIQunfang2，LIShiyu1

（1.Faculty of Science，Jiangxi University of Science and Technology，Ganzhou 341000，China；2.Department of Mathematics，Ganzhou Teachers College，Ganzhou 341000，China）

Traditional norm inequalities of differential forms，which satisfy some certain kinds of harmonic equations，have been widely used in partial differential equations，potential analysis and engineering technology field.Based onLs-norm inequality applying to differential forms which satisfy A-harmonic equation，it is proved that local Orlicz norm estimation for Green′s operator can apply to differential forms on a convex bounded domain.Then the result is generalized to Lφ-averaging domains and the corresponding global Orlicz norm estimation is obtained.

Orlicz norm；Green′s operator；differential forms；averaging domain

O175.2

A

2095-3046（2015）05-0110-03

10.13265/j.cnki.jxlgdxxb.2015.05.019

2015-03-29

国家自然科学基金项目资助（11461032，11401267）；江西省教育厅基金项目资助（GJJ13376）；江西理工大学校级基金项目（NSFJ2015-G25）

李华灿（1985-），男，讲师，主要从事调和分析等方面的研究，E-mail:hua03010217@126.com.