浅谈初中数学教学中的中流砥柱

刘凤辉

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2015）08-0155-01

教育，作为与人类社会历史共始终的现象活动，对于任何一个具有社会学意义的人都有着深远的影响。教育已经成为现代社会成员生存和发展的重要基础和条件。那么作为一名人民教师我们有责任更有义务为社会传播良好的教育。所谓科学的对象就是对事物特殊的矛盾性的研究，任何一门学科都有自己的研究对象，这是一门学科是否独立的标志，作为一名初中的数学教师，我们应该承担起这样的责任，继续前人的研究，探索数学的奥妙。

如果我们要找这样的一个定理对它进行深刻的研究和探索，它的出现称得上是数学发展史上的里程碑，那么勾股定理称得上为最佳的选择。勾股定理又叫商高定理、毕氏定理，或称毕哥拉斯定理：英文翻译 Pythagoras Theorem在一个直角三角形中，斜边边长的平方等于两条直角边边长平方之和。如果直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为c，那么a2+b2=c2。中国最早的一部数学著作——《周髀算经》的开头，就有这条定理的相关内容：从这段话中我们可以清楚地看到，我国古代的人民早在几千年以前就已经发现了并且应用勾股定理这一重要的数学原理了。在西方同样有文字记载最早的证明是毕达哥拉斯给出的。据说当他证明了勾股定理以后，欣喜若狂，杀牛百头，以示庆贺。故西方亦称勾股定理为“百牛定理”。遗憾的是，毕达哥拉斯的证明方法早已失传，我们无从知道他的证法。实际上，在更早期的人类活动中，人们就已经认识到这一定理的某些特例。这说明，勾股定理实际上早已进入了人类知识的宝库。

勾股定理是几何学中的明珠，它充满魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家、画家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统。也许是因为勾股定理既重要又简单又实用，更容易吸引人，才使它成百次反复被人论证。有资料表明，关于勾股定理的证明方法已有500余种，仅我国清末数学家华蘅芳就提供了二十多种精彩的证法。

关于勾股定理的证明几千年来也有着数百种的证明方法，在这数百种证明方法中，有的十分精彩，有的十分简洁，有的因为证明者身份的特殊而非常著名。首先介绍勾股定理的两个最为精彩的证明，据说分别来源于中国和希腊。中国方法：画两个边长为（a+b）的正方形，其中a、b为直角边，c为斜边。这两个正方形全等，故面积相等。这就是我們几何教科书中所介绍的方法。既直观又简单，任何人都看得懂。至于三角形面积是同底等高的矩形面积之半，则可用割补法得到。这里只用到简单的面积关系，不涉及三角形和矩形的面积公式。这就是希腊古代数学家欧几里得在其《几何原本》中的证法。以上证明方法之所以精彩，是它所用到的定理少，都只用到面积的两个基本观念：⑴全等形的面积相等；⑵一个图形分割成几部分，各部分面积之和等于原图形的面积。这是完全可以接受的朴素观念，任何人都能理解。我国数学家赵爽对勾股定理的证明，显示了我国数学家高超的证题思想，较为简明、直观。西方也有很多学者研究了勾股定理，给出了很多证明方法。1876年4月1日，伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证明。五年后，伽菲尔德就任美国第二十任总统。后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为勾股定理的“总统”证法，这在数学史上被传为佳话。在学习了相似三角形以后，我们知道在直角三角形中，斜边上的高把这个直角三角形所分成的两个直角三角形与原三角形相似。在对勾股定理为数众多的证明中，人们也会犯一些错误。

如下证明勾股定理的方法：设△ABC中，∠C=90°，由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC，因为∠C=90°，所以cosC=0。所以a2+b2=c2。这一证法，看来正确，而且简单，实际上却犯了循环证论的错误。原因是余弦定理的证明来自勾股定理。人们对勾股定理感兴趣的原因还在于它可以作推广。欧几里得在他的《几何原本》中给出了勾股定理的推广定理：“直角三角形斜边上的一个直边形，其面积为两直角边上两个与之相似的直边形面积之和”。从上面这一定理可以推出下面的定理：“以直角三角形的三边为直径作圆，则以斜边为直径所作圆的面积等于以两直角边为直径所作两圆的面积和”。勾股定理还可以推广到空间：以直角三角形的三边为对应棱作相似多面体，则斜边上的多面体的表面积等于直角边上两个多面体表面积之和。若以直角三角形的三边为直径分别作球，则斜边上的球的表面积等于两直角边上所作二球表面积之和。

所谓知识并不是单的老师教而学生学，而是要根据学生自身的情况和知识经验建构的，在数学教育中教师的作用更为显著，不仅是知识的授予者，更是让学生学会独立探索的引导者，数学的领悟博大精深，需要我们更长久深远的去探索和琢磨。在数学这片领域中，我们要在前人的基础上创造出属于自己的新天地！