壁面湍流质量注入减阻效应的数值研究

赵勇，王天霖，宗智，高云

(1.大连海事大学交通运输装备与海洋工程学院，辽宁大连116026;2.上海交通大学海洋工程国家重点实验室，上海200240;3.大连理工大学运载工程与力学学部船舶工程学院，辽宁大连116024;4.西南石油大学油气藏地质及开发工程国家重点实验室，四川成都610500)

通过对湍流边界层的质量注入，可以实现对边界层流动控制，进而减少边界层的摩擦阻力，在化工管道、船舶及机翼表面都有广泛应用［1，2］，因此对该现象的研究具有重要的工程意义。由于外界流体的注入，边界层的厚度增加明显，外界流体与原有流体互相作用，使得边界层内的流动比较复杂，要对其作出准确的数值模拟并不容易［3］，可供参考文献较为少见。目前，对边界层质量注入的研究多数是通过试验的手段［4］，详细情况可参见该篇文献及其引用文献。本文以一多孔平板边界层为例，在平板下侧垂直注入空气，与上侧平行来流的空气相互作用，对该模型采用雷诺平均方法做数值模拟，获得了一些流动参数，与相同条件下的无质量注入的情况进行了对比，有利于增加对该流动现象的认识。在本文数值计算中，采用最近发展且获得广泛成功应用的 Wilcox(2006)k-ω 湍流模式［5］，与试验数据比较［6］，获得了较为准确的数值解。

1 控制方程

本文采用雷诺平均方程计算二维定常不可压流动方程，选用Wilcoxk-ω模式计算涡粘系数，流动控制方程如下:

式中:U、V分别是流向和法向的平均速度分量，ρ、P分别是流体的密度和压力，ν、νT是流体的运动粘性系数和涡粘系数。对未知量涡粘系数的模拟，是RANS方法的核心问题，本文选用k-ω模式。k-ω模式先后由Kolmogorov和 Saffman［7］提出，Wilcox对此做了许多改进版本［8-10］，目前最新版被称为 Wilcoxk-ω 模式［5］，已有许多成功应用。下面简要列举其主要公式，详细介绍可参见参考文献［5］。该模式中，涡粘系数可表述为

其中，k、ω分别是湍动能和比耗散率，需要对其计算，对应的模式方程分别是:

模式方程(4)～(6)中的系数取值如下:

辅助函数为

对多孔介质情况系的边界条件有:

其中，Vw为平板下侧垂直来流速度。同时，壁面处的湍流量边界条件为

其中，d为最靠近壁面的网格离壁面的距离。

2 数值算例

2.1 流动参数及计算方法

本文数值计算中，多孔平板长度为L=3 m，平板上侧平行来流的空气速度U∞=9.4 m/s，平板下侧垂直注入的空气为Vw=0.043 m/s，空气温度为297.8 K，密度为1.193 kg/m3，压强为1.02×105Pa，运动粘性系数为ν=1.458×10-6m2·s。基于平板长度的雷诺数 ReL=U∞L/ν=1.93×107，一般情况下平板的临界雷诺数介于105～106，可知该流动早已处于湍流状态。该算例参数与Andersen的试验参数一致［6］。

在二维层流计算程序的基础上，这里补充了Wilcoxk-ω湍流模式，实现了对该流动模型的湍流数值模拟。在整个控制方程组的计算中，先计算动量方程，然后是连续方程，最后是湍流模式方程，采用迭代方法，监视流向速度分量，前后2次迭代结果相对差值限制为1×10－4，如果相对差值小于该值，可认为计算收敛到稳定状态，可停止计算。在动量方程及湍流模式方程的离散中，对流项采用二阶迎风格式，其他项都采用二阶中心差分格式，连续方程采用二阶中心差分格式。本文设置的矩形计算区域为3.0×0.123，为验证网格的收敛性，对此设置了3套均匀嵌套网格，流向与法向的节点数目分别是301×101、151×51、75×25，这3套网格的沿流向方向的平板摩擦阻力系数如图1所示，可见，计算结果对设置的网格密度是稳定的，后续计算中将选取中密度网格，即151×51。计算边界条件来流采用均匀来流，有质量注入情况平板采用给定速度来流，无质量注入情况采用无滑移条件，出口采用自由出流，上边界采用周期边界。

图1 3种网格密度下的平板局部摩擦阻力系数流向分布的比较Fig.1 The comparison of local frictional coefficients along the plate with three kinds of grids

2.2 数值结果及讨论

首先，为了验证选用的湍流模式及数值方法的精度，首先比较了摩擦阻力系数Cf=2τw/ρU∞2，τw=的数值结果与Andersen的试验结果，图2是该系数的两者比较。该系数取决于流向速度分量沿着壁面的法向一阶导数及涡粘系数，所以通过该系数的数值结果与试验结果的比较，能有效的验证数值计算的精度。如图2所示，位于平板0.25 m测点处，两者误差最大，相差12%，但之后两者迅速靠近，0.5 m以后两者吻合良好，说明数值结果可靠并有较高的精度。

为考虑质量注入后的对整个边界流动的影响，本文以下分有无质量注入2种情况，在其他条件保持不变的条件下，考察流动的一些关键物理量的对比，包括速度剖面，湍流动能，湍流涡粘性系数的分布，以增进对流动的认识。在无质量注入的情况下，边界条件换成无滑移条件。图3是2种情况下的摩擦阻力沿平板分布情况，由此可见，在有质量注入的情况下，确实能很大幅度的减少摩擦阻力，随着流向方向增加，减阻幅度越来越大，从板前减阻大约30%发展到80%。

图2 平板流向的局部摩擦阻力系数数值解与试验解的比较Fig.2 Comparison of local frictional coefficients along the plate between numerical and experimental results

图3 有无质量注入情况下的平板局部摩擦阻力系数沿流向分布的比较Fig.3 Comparison of local frictional coefficients along the wall between mass injection and no injection’s results

图4给出了2种情况下在流向位置x=1 m处的流向平均速度剖面。图4显示在有质量注入的情况下边界层的名义厚度为0.04 m，而在无质量注入的情况下，名义厚度0.025 m，由此可见，外界质量的注入有效的增加了边界层的厚度，符合外界质量注入会导致边界层的膨胀效应(blowing off effect)。由于边界层厚度增加，边界层对平板的挤压力会降低，从而减少对平板的摩擦阻力，通过边界层的膨胀效应，可定性上解释质量注入的减阻效果。

图5是在流向位置x=3m处的流向平均速度剖面比较。图6同样显示了质量注入下的边界层膨胀效应，名义边界层厚度从0.06 m增加到0.12 m，厚度增加比从流向位置x=1 m处的1.6倍增加到2.0倍，进而可解释沿着流向方向，减阻效果越来越显著。

图6和图7分别给出了湍动能k=(u＇2+v＇2)/2在有无质量注入情况下的分布情况。由图可见，随着离壁面距离的增加，2种情况下的湍动能都是逐渐增加，过了边界层中心区域之后又逐渐减少的。随着流向距离的增加，2种情况下湍动能都是逐渐减少的。计算表明，湍动能在2种情况下的在流场分布的趋势是一致的，但两者在数量上是有区别的。在有质量注入的情况下，湍动能值明显大于无质量注入情况，且它的分布区域明显更发散，2个图中的最大值分布区域说明了这点。通过湍动能分布表明，在质量注入情况下，外界流体与内部流体在边界层内相互作用，促进了边界层内的湍流发展，这种情况也体现在图8中。

图4 有无质量注入情况下的流向位置x=1 m处流向平均速度剖面比较Fig.4 Comparisons of averaged stream wise velocity profiles with/without mass injection cases on the position of x=1 m

图5 有无质量注入情况下的流向位置x=3 m处流向平均速度剖面比较Fig.5 Comparisons of averaged stream wise velocity profiles with/without mass injection on the position of x=3 m

图6 质量注入情况下的湍动能分布等直线图分布Fig.6 Contour lines of turbulent kinetic energy in mass injection case

图8是2种情况下无量纲湍动能在流向位置x=1 m处的剖面分布，从图可见，有质量注入情况的湍动能明显要大于无质量的湍动能，其分布区域也明显较分散，且最大值的分布趋于远离壁面。

图7 无质量注入情况下的湍动能分布等直线图分布Fig.7 Contour lines of turbulent kinetic energy in no mass injection case

图8 无量纲湍动能在流向位置x=1 m处的剖面分布对比Fig.8 Profiles of dimensionless turbulent kinetic energy on the position of x=1 m

图9、10分别给出了涡粘系数μt与分子粘性系数μ的比值在有无质量注入情况下的分布情况。由图可见，随着离壁面距离的增加，2种情况下的涡粘系数系先逐渐增加后又逐渐减少的。随着流向距离的增加，2种情况下湍动能都是逐渐增加的。

图9 质量注入情况下的涡粘系数与分子粘性系数之比的等直线分布图Fig.9 Contour lines of ratio between turbulent and molecular viscous coefficients in mass injection case

计算表明，涡粘系数在2种情况下的在流场分布的趋势也是一致的，最大值主要集中在边界层中后区域。但有质量注入的情况下，涡粘系数值明显大于无质量注入情况，大致是其2倍左右。

图11是2种情况下涡粘系数与分子粘性系数之比在流向位置x=1 m处的剖面分布，计算显示有质量注入情况的涡粘系数明显要大于无质量注入的涡粘系数，大致是其2倍左右，其分布区域也明显较分散且最大值的分布趋于远离壁面。

图10 无质量注入情况下的涡粘系数与分子粘性系数之比的等直线分布图Fig.10 Contour lines of ratio between turbulent and molecular viscous coefficients in no massinjection case

图11 涡粘系数之比在流向位置x=1 m处的剖面分布对比Fig.11 Comparison of the dimensionless turbulent eddy coefficient’s profiles with/without mass injection on the position of x=1 m

3 结束语

本文采用RANS方法对有质量注入情况下的多孔平板壁面湍流做了数值模拟，应用Wilcoxk-ω湍流模式模拟涡粘系数，得到的摩擦阻力系数与相应的试验结果对比，表明数值计算具有较高的精度。通过与无质量注入的情况相比，表明质量注入能有效的降低边界层壁面上的摩擦阻力。在此基础上，近一步给出了流场的一些关键量如平均速度剖面、湍动能、涡粘系数的分布，定性解释了质量注入的减阻效果。通过对这些量的对比分析，同时有助于提高对这种较为复杂流动现象的认识，这种认识可归纳为2点，一是验证了质量注入带来的边界层膨胀效应，二是质量注入会使得边界层内湍流发展更为充分。本文仅考虑了给定某一注入流量的情况，质量注入的流量参数对平板或者曲板的降阻效应的定量分析将在后续研究。

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