高速飞行器小速度比交会问题及方法特性研究

熊俊辉，唐胜景，郭杰

(1.北京理工大学宇航学院 飞行器动力学与控制教育部重点实验室，北京100081;2.湖北航天技术研究院总体设计所，湖北武汉430040)

飞行器拦截问题的实质是一个目标与拦截器的交会过程，根据交会过程中目标与拦截器的速度与位置关系可以分为尾追、迎击及前向拦截［1］。由于常见的目标交会问题多为拦截器远大于目标速度，采用尾追的制导方式即可满足任务需求。随着目标飞行器速度的不断增大，如空间轨道飞行器或临近空间高超声速飞行器，拦截器与目标飞行器的速度比越来越小，甚至小于1［2］。当拦截器与目标的速度比p＜1时，传统的尾追式制导方法无法直接击中目标，需要研究其他的交会制导方法，即迎击拦截及前向拦截制导方法［3］。

Shima等针对轨道飞行器拦截提出了前向拦截制导方法并验证了该方法对机动、高速目标拦截的有效性［3-4］。Prasanna等研究了一种针对高速飞行器拦截的负比例导引律，其实质是前向拦截的比例导引［5］。严卫生等以水下目标为背景，设计了迎面拦截变结构制导律并证明其有很好的鲁棒性及脱靶量小的优点［6］。葛连正等建立了前向拦截三维制导模型并研究了二阶滑模非线性制导律［7］。李运迁等针对高超速再入的弹道导弹，基于滑模变结构控制设计了零控脱靶量的末制导律［8］。陈兴林等研究了微分几何制导律的捕获性能，对拦截问题的研究提供了一种思路［9］。

虽然针对迎击和前向拦截已有研究并取得一定成果［10］，但对高速飞行器的p＜1的两种交会方法的适用条件、方法特性及选择依据方面缺乏对比研究，这也是本文的主要研究内容。

1 相对运动关系

本文旨在研究小速度比问题及交会方法特性，为方便研究基于以下假设:

1)将拦截器与目标视为质点;

2)拦截器与目标作等速运动，拦截器均改变速度方向进行机动。

图1 拦截器与目标相对运动关系Fig.1 Relative motion of the interceptor and the target

建立拦截器与目标的相对运动如图1所示，M为拦截器，T为目标，R为拦截器与目标距离。MXYZ为惯性坐标系;MXlYlZl为视线坐标系，Xl轴由拦截器指向目标，Yl位于纵向平面与Xl垂直，Zl由右手定则确定;MXmYmZm为拦截器弹道坐标系;TXtYtZt为目标的弹道坐标系。θl、φl为视线坐标系到惯性坐标系的欧拉角，即视线高低角及方位角;θm、φm为拦截器弹道坐标系到视线坐标系的欧拉角，即拦截器的速度矢量前置角;θt、φt为目标弹道坐标系到视线坐标系的欧拉角，即目标速度矢量前置角(图中不便标出);aym、azm为纵向及侧向面的加速度控制量。拦截器与目标的相对运动方程为［11］

2 交会问题及方法特性

2.1 交会方法描述

无论何种交会方式，理论上只要交会过程中始终满足0，对于有限距离的拦截器与目标即可实现交会。由式(1)中第一式知由拦截器与目标在视线的速度分量叠加得到，将拦截器与目标的相对位置及二者速度在视线上分量的关系作为定义3种交会方法的依据。令u=vmcos θmcos φm，w=vtcos θtcos φt，u、w分别表征了目标与拦截器的速度在视线上的分量。所以:

一般地，定义拦截器与目标的欧拉角满足:

1)尾追

尾追，指在交会过程中拦截器与目标在视线上有相同的速度分量，且目标位于拦截器的前方，满足:

由式(3)、(4)，得尾追满足:

1)迎击拦截

迎击拦截，指在交会过程中拦截器与目标在视线上有相反的速度分量，且目标位于拦截器的前方，满足:

由式(3)、(6)，得迎击拦截(head-on impact，HI)满足:

2)前向拦截

前向拦截，指在交会过程中拦截器与目标在视线上有相同的速度分量，且目标位于拦截器的后方，满足:

由式(3)、(8)，得前向拦截［3］(head pursuit，HP)，满足:

2.2 交会的速度比条件

平行接近法是二体交会的理想形式［12］。理论上，按准平行接近原则:

同时保持:

即可以实现交会。文中所述速度比是指拦截器与目标的速率之比，即p=vm/vt。由式(1)、(10)，纵向面内，有

对侧向平面，有

1)尾追的速度比条件

分别由式(5)、(12)、(13)得

显然，要求

将式(14)代入式(11)，得尾追的速度比条件为

2)迎击拦截的速度比条件

由式(12)、(13)，考虑式(7)，同样可得式(14)，即迎击拦截的速度比满足式(15)。另由式(11)推导得p＞0，所以，迎击拦截的速度比条件

3)前向拦截的速度比条件

分别由式(12)、(13)，考虑式(9)，得

即前向拦截的速度比亦满足式(15)。将式(18)代入式(11)，整理得p＜1。所以前向拦截的速度比条件:

2.3 有效拦截区域

本文着重讨论的小速度比是指p≤1而无法采用传统的尾追方法的情况。以上分析可知，迎击及前向拦截均可适用于速度比小于1的交会，此处分析两种交会方法的拦截区域。对满足速度比条件的迎击或前向拦截，给定速度比p后，其有效拦截区域可用拦截器的欧拉角的变化范围来表示。

1)迎击拦截的有效拦截区域

按准平行接近原则，由式(12)得到θm的下限，结合式(7)，得θm的范围:

类似的，由式(13)、(14)得到φm的下限，考虑定义式(7)，得φm的范围:

2)前向拦截的有效拦截区域

类似的，得前向拦截的θm范围同样满足式(20)。由式(13)、(18)结合式(9)得φm的上限:

另考虑定义式(9)，得φm的范围:

若拦截器既可实施迎击也可实施前向拦截，将迎击和前向拦截的有效拦截区域合并可以得到小速度比交会的拦截区域，由式(20)、(21)、(23)，得

图2 迎击及前向拦截的有效拦截区域Fig.2 Intercept region of head-on impact and head pursuit

图2描绘了拦截器的有效拦截区域随θt、φt的变化关系(为便于对比显示，图2(b)以点云示意)。图2显示，拦截器的有效拦截区域也随着p的增大而增大;图2(b)中，φm=π/2为迎击与前向拦截的分界面，对p＜1的交会问题，二者有对称的有效拦截区域。

2.4 需用过载

1)迎击拦截的需用过载

分别将式(12)、(13)对时间求导，并将式(14)代入，得:

由式(1)、(10)，得

代入式(25)得

2)前向拦截的需用过载

类似的推导，可以得前向拦截的需用过载

两种交会方法具有绝对值相等的需用过载，即目标的机动给迎击及前向拦截引起过载需求相同。需要指出，实际中由于接近速率、视线角速率不同，迎击及前向拦截的需用过载存在明显区别，这也是两种方法的主要特征。

2.5 允许初始距离

迎击及前向拦截均有各自的有效拦截区域，当目标采取机动规避至有效拦截区域外将导致交会失败。因此，评价两种交会方法的一个性能特征是针对机动目标的允许初始距离，即在目标开始机动规避的时刻，交会允许的拦截器与目标的最大距离。圆弧机动是一种典型的规避方法，对时间较短的高速飞行器交会，其他诸如蛇形机动及正弦机动亦可近似于圆弧机动，此处以目标作圆弧机动为例对比分析2种方法的允许初始距离。通过对接近速率积分可以得到交会的允许初始距离Rmax，即

其中，t0为初始时刻，tmax为交会结束时间。

将式(14)代入式(29)得到迎击的允许初始距离为

类似的，前向拦截的允许初始距离为

考虑作圆弧机动，所以

对于迎击拦截，由式(17)，知

将式(32)代入式(33)，求解可得tmax。若考虑高速飞行器的交会主要在纵向平面进行机动，忽略侧向面的机动，即nzt=0，则

为直观对比两种方法的允许初始距离，记t0为0，给定vt=1 360 m/s、θt0=10°、φt0=175°，可以获得Rmax随nyt、p的变化关系，如图3所示。

由图3可知，两种方法的Rmax均随nyt的增大而减小;相同的p情况下，迎击的Rmax远远大于前向拦截。对迎击拦截，p的增大可以明显增大Rmax，而对前向拦截，这种效果不明显，这也意味着对于前向拦截器，圆弧机动是一种很好的规避手段。

值得说明的是，文中基于准平行接近法研究获得了小速度比交会特性，若采用比例导引等其他导引方法得到的速度比条件、有效拦截区域、允许初始距离将更苛刻。

图3 迎击及前向拦截的允许初始距离Fig.3 Allowed distance of head on impact and head pursuit

3 导引特性

为对比迎击及前向拦截的导引弹道特点，以经典的三维比例导引律进行仿真，导引方程为

式(35)中，当采用前向拦截时，其比例系数取负值［5］。由于前向拦截和迎击拦截都采用传统的比例导引，仅比例系数正向号关系，两种方法在导引稳定性方面没有本质区别。案例中，取拦截器与目标分别以vm=1 020 m/s、vt=1 360 m/s作等速运动，此时速度比为0.75。进入导引段时目标分别在纵向、侧向通道以过载4、2作圆弧机动。设定交会的初始值及参数:R0=6 000 m，θl(0)=30°，φl0=15°，θt0=10°，φt0=170°。迎击:N=6，θm0=15°，φm0=0°;前向N=－6，θm0=15°，φm0=170°。

在给定初始条件下，迎击与前向拦截均实现了p＜1的交会。迎击拦截与前向拦截的交会轨迹、视线角速率和需用过载分别如图4～6所示。仿真结果显示，迎击与前向拦截的主要区别体现在交会时间、飞行路径及需用过载。由于较大的接近速率，迎击的交会时间及路径远小于前向拦截，案例中迎击时间为2.63 s，而前向拦截为 15.94 s;但过高的接近速率又使迎击的视线角速率过早发散，导致其需用过载末段迅速增大，且末段视线角速率是影响精度的重要因素，在其他影响作用相同的情况下高速迎击易导致更大的脱靶量。这意味着，前向拦截器除了要求后视探测器，还要求更大射程;而迎击对拦截器的过载要求较高。

图4 拦截器与目标运动轨迹Fig.4 Trajectory of interceptor and target

图5 拦截器的视线角速率Fig.5 LOS angular rate of interceptor

图6 拦截器的需用过载Fig.6 Required overload of interceptor

4 结论

拦截器与目标的速度比直接决定了交会方法的选择。通过对p＜1的交会问题及方法对比研究，获得以下结论:

1)迎击及前向拦截均可适用p＜1的交会。无论是迎击还是前向拦截，都有速度比下限要求，且取决于目标速度矢量的前置角，对于前向拦截还需满足p＜1;

2)迎击及前向拦截的有效拦截区域主要取决于p及目标速度矢量的前置角，p速度比越大拦截区域越大，对相同的目标特性，二者的拦截区域呈空间对称状;

3)对于相同的目标机动，引起迎击及前向拦截的过载需求相同;由于前向拦截的接近速率远小于迎击，其对圆弧机动目标的允许初始距离远小于迎击，且增大p速度比也不能显著增大允许初始距离;

4)得益于较大的接近速率，迎击的交会时间短、拦截器的射程要求低，但过大的接近速率使得视线角速率过早发散，从而使末段需用过载迅速增大;而前向拦截则由于较小的接近速度使交会时间长、射程要求较长，但其视线角速率及需用过载平稳。

［1］SHIMA T.Intercept-angle guidance［J］.Journal of Guidance，Control，and Dynamics，2011，34(2):484-492.

［2］熊俊辉，唐胜景.高超声速巡航飞行器防御方案探讨［J］.飞航导弹，2012(1):13-15.XIONG Junhui，TANG Shengjing.Discussion on defense methods of hypersonic cruise vehicle［J］.Winged Missiles Journal，2012(1):13-15.

［3］SHIMA T，ODED M.Head pursuit guidance［J］.Jounal of Guidance，Control，and Dynamics，2007，30(5):1437-1444.

［4］ODED M，SHIMA T.Head pursuit guidance for hypervelocity interception［C］//AIAA Guidance，Na-vigation，and Control Conference and Exhibit，Washington.DC，2004，2004-4885.

［5］PRASANNA H M，GHOSE D.Retro-proportional-navigation:A new guidance law for interception of high-speed targets［J］.Journal of Guidance，Control，and Dynamics，2012，35(2):377-386.

［6］严卫生，任章，徐德民，等.迎面拦截变结构导引律及其应用研究［J］.西北工业大学学报，2000，18(4):616-620.YAN Weisheng，REN Zhang，XU Demin，et al.A head-on impact variable structure guidance law［J］.Journal of Northwestern Polytechnical University，2000，18(4):616-620.

［7］葛连正，沈毅，院老虎.前向拦截的三维制导模型及制导律设计［J］.系统工程与电子技术，2008，30(6):1118-1121.GE Lianzheng，SHEN Yi，YUAN Laohu.Three-dimensional guidance model and guidance law design for head pursuit interception［J］.Systems Engineering and Electronics，2008，30(6):1118-1121.

［8］李运迁，齐乃明.基于零控脱靶量的大气层内拦截弹制导律［J］.宇航学报，2010，31(7):1768-1773.LI Yunqian，QI Naiming.A zero-effort miss distance-based guidance law for endoatmoshperic interceptor［J］.Journal of Astronautics，2010，31(7):1768-1773.

［9］陈兴林，花文华.微分几何制导律及其捕获性能分析［J］.哈尔滨工程大学学报，2010，31(12):1626-1631.CHEN Xinglin，HUA Wenhua.Capturability analysis of a different geometrical guidance law［J］.Journal of Harbin Engineering University，2010，31(12):1626-1631.

［10］周荻.寻的导弹新型导引规律［M］.国防工业出版社，2002.ZHOU Di.New guidance laws for homing missiles［M］.National Defense industry Press，2002.

［11］钱杏芳，林瑞雄，赵亚男.导弹飞行力学［M］.北京:北京理工大学出版社，2006.QIAN Xingfang，LIN Ruixiong，ZHAO Yanan.Flight dynamics of missiles［M］.Beijing Institute of Technology Press，2006.

［12］唐胜景，郭杰，李响.飞行器系统概论［M］.北京:国防工业出版社，2012.