基于MPSO方法的边坡可靠度计算研究

张玉娇，朱晓丽，贺子光，党亚倩，陈 磊

（1.济源职业技术学院建筑工程系，河南济源454000;2.长安大学地质工程与测绘学院，西安710054；3.西部地质资源与地质工程教育部重点实验室，西安710054）

0 引言

由于边坡工程的不确定性特点，传统的稳定性分析方法不能很好地解决实际问题，而可靠性分析方法可以更为准确地计算工程问题。经过国内外众多学者的大量研究，可靠性分析方法取得了很大的进展[1～4]。目前，计算边坡可靠度的常用方法有：蒙特卡罗法（MCS）、一次二阶矩法(FORM)、响应面法（RSM）、优化算法（Optimization Algorithm）和人工神经网络法（ANN）等。

边坡工程可靠性分析方法虽然取得了一定的进展，但仍然有诸多问题亟待解决：MCS法对于小概率事件，需要进行大量的数值计算，效率较低；FORM法虽然算法简单，但计算工作量大。优化算法是一种新的求解可靠度指标的数值方法，即求解可靠指标属于求解极限状态曲面到原点最短距离的优化问题。应该说用优化方法求解可靠指标是一种有效的途径，但现有的大部分优化方法在求解功能函数呈高度非线性问题时（尤其是凸优化问题），有时会陷入局部最小值，或者是计算结果不收敛，效果往往不理想[5～6]。

PSO方法是模拟鸟群觅食的种群优化方法，其算法简单，收敛速度快，已得到众多研究者的肯定。张利彪、周春光利用PSO方法求解多目标优化问题，实现了对多目标优化问题的非劣最优解集的搜索[7]；刘大鹏、周建中将混沌算法和PSO算法结合，并将其应用到了土钉支护优化设计中[8]。

本文提出应用MPSO方法计算边坡可靠度。该方法借鉴遗传算法中的杂交概念，将标准PSO方法进行改进，计算可靠度指标及验算点。该方法可以解决功能函数呈高度非线性的可靠度计算问题，并具有较高的精度和收敛速度。

1 粒子群算法

1.1 标准粒子群算法原理

粒子群算法是一种进化计算技术，由Eberhart和kennedy博士发明，源于对鸟群捕食的行为研究。PSO算法同遗传算法类似，是一种基于迭代的优化工具。系统初始化为一组随机解，通过迭代搜寻最优值。在PSO算法中，每个优化问题的解都是搜索空间中的一只鸟，被抽象为没有质量和体积的微粒，并将其延伸到N维空间。PSO算法首先初始化一群粒子（随机解），然后粒子就追随当前的最优粒子在解空间中搜索，即通过迭代找到最优解。假设D维空间中的第i个粒子的位置和速度分别为和，在每一次迭代中，粒子通过跟踪两个最优解来更新自己，第一个就是粒子本身所找到的最优解，即个体极值pbest；另一个是整个种群目前找到的最优解，即全局最优解gbest，在找到这两个最优值时，粒子根据如下的公式来更新自己的速度和新的位置。

其中，w为惯性权重，c1和c2为正的学习因子，r1和r2为0到1之间均匀分布的随机数。

1.2 混合粒子群算法

1.2.1 算法原理

借鉴遗传算法中的杂交概念，在每次迭代中，根据杂交概率选取指定数量的粒子放入杂交池内，池中粒子随机两两杂交，产生同样数目的子代粒子（child）,并用子代粒子替换亲代粒子（par⁃ent）。子代位置由父代位置进行算术交叉得到：

或

其中，p是0到1之间的随机数。

子代的速度由下式计算：

或

1.2.2 算法步骤

基于杂交的粒子群算法的基本步骤如下：

1）随机初始化种群中各微粒的位置和速度；

2）评价每个微粒的适应度，将当前各微粒的位置和适应值存储在各微粒的pbest中，将所有pbest中的速度和适应值存储在gbest中；

3）更新每个微粒的速度和位置；

4）对每个微粒，将其适应值与其经历过的最好位置进行比较，如果较好，将其作为当前最好的位置和速度；

5）比较当前所有的pbest和gbest的值，更新gbest；

6）根据杂交概率选取指定数量的粒子放入杂交池内，池中的粒子随机两两杂交产生同样数目的子代粒子，子代的位置和速度计算公式如下：

保持pbest和gbest不变；

7）若满足停止条件，搜索停止，输出结果，否则返回3）继续搜索。

1.2.3 可靠度指标的几何含义

从一次二阶矩方法的理论可知，对于独立正态分布随机变量，当极限状态方程为线性时，可靠度指标在标准正态坐标系中等于原点到极限状态平面(或直线)的最短距离[9]。Shinozuka已经证明：在失效面上，如果某点到原点的距离是所有点中最近的，则该点就是失效点，或者说是验算点。在可靠度分析中，该距离即为可靠度指标β。因此，设具有n个正态变量x1,x2,∙∙∙xn的极限状态方程：

或

将上述中的变量x1,x2,…xn标准化得

式中，mxi和σxi是变量xi的均值和方差。因此可靠度计算模型为

如果随机变量服从一般分布，则可以进行高斯变换，将一般分布变换成正态分布。高斯变换如下：

1.2.4 MPSO方法在可靠度计算中的应用

由可靠度指标的几何含义可知，在标准正态坐标系中，可靠度指标是原点到极限状态曲面的最短距离，而验算点就是极限状态曲面上到原点距离最短的点。利用混合粒子群方法的全局搜索能力找出其到原点最短距离的点以及相应的最短距离，即可靠度指标和设计验算点，具体步骤如下：

1）确定混合粒子群方法参数。粒子数目，学习因子1，学习因子2，惯性权重w，杂交概率Pc，杂交池的大小比例Sp，最大迭代次数。

2）随机产生初始种群。根据各随机变量的具体分布，利用Matlab中随机数产生器，随机产生一组随机数作为该变量的初始种群，通常设置随机数在[-3σ,3σ]区间。

3）约束条件处理。由于可靠度的模型为有约束的规划模型,而混合粒子群方法一般对无约束的优化模型比较方便。因此需要对约束条件进行处理，这里采用罚函数法将约束求解问题转化为无约束求解问题。

其中：f(x1,x2,…xn)为极限状态函数，λ为惩罚因子。

4）计算适应值。计算每个微粒的适应值，将当前各微粒的位置和适应值存储在各微粒的pbest中，将所有pbest中的速度和适应值存储在gbest中；

5）更新每个微粒的速度和位置。

6）对每个微粒，将其适应值与其经历过的最好位置进行比较，如果较好，将其作为当前最好的位置和速度.

7）比较当前所有的pbest和gbest的值，更新gbest。

8）根据杂交概率选取指定数量的粒子放入杂交池内，池中的粒子随机两两杂交产生同样数目的子代粒子。

9）若满足停止条件，搜索停止，输出结果，否则返回4）继续搜索。

2 工程算例

2.1 算例：采用MPSO算法计算可靠度

已知一岩质边坡[10]，其稳定性主要受岩石的c，ϕ值影响，考虑地震和裂缝中水压对边坡的作用。剖面图见图1，由极限平衡条件,可得潜在滑动面上的安全系数,安全系数等于总抗滑力和总滑动力之比，采用MPSO算法计算此边坡的可靠度指标。α为地震加速度与重力加速度的比值。zw为张拉裂缝中水的深度，iw=zw/z，b为张拉裂缝至坡面的距离，随机变量为 c,ϕ,b,iw,α，岩石重度γ=2.6KN/m3，参数统计见表1，计算结果见表2，优化过程见图2。

其中：

其他参数统计见表1。

文献[10]中的计算结果为1.557，MPSO和标准PSO方法的计算结果与其基本一致，对应的失效概率为5.97，蒙特卡洛计算10万的失效概率为6.01。这表明MPSO算法的准确性，可以作为可靠度计算的一种有效方法；从图2可以看出，MPSO方法较标准PSO方法的收敛速度快，且计算精度比标准PSO方法高。

表1 随机变量及其统计参数

表2 边坡的计算结果

2.2 控制参数对可靠度指标的影响

MPSO算法控制参数的不同选取，直接对算法的性能产生较大影响，控制参数主要包括杂交率Pc和杂交池的大小比例Sp以及种群规模的大小。下面讨论各控制参数对可靠度指标的影响规律。由于算法具有一定的随机性，为了消除随机性导致的计算结果误差，在同样的参数情况下，程序均运行50次，以平均值作为衡量依据。

2.2.1 种群规模对可靠度指标的影响

图3给出了工程算例在不同种群规模时的可靠度指标，其中惯性权重w=0.7，杂交率Pc=0.7，杂交池的大小比例Sp=0.2，搜索空间为可靠度指标的收敛情况。

从图3可以看出，随着种群规模的增大，可靠度指标越来越小。当种群规模大于40时，不同种群规模所对应的可靠度值之间的差别很小，这表明：当种群规模达到一定数量时，种群规模对可靠度指标的影响越来越小。由于种群规模越大，进化所需要的时间越长，所以综合精度和运行时间两种情况考虑，种群规模一般取为30～50。当变量较多时，可以适当地增加种群规模。

2.2.2 杂交率对可靠度指标的影响

图4给出了算例1在不同杂交率时，可靠度指标的收敛情况。其中种群规模为40，惯性权重w=0.7,杂交池的大小比例Sp=0.2，搜索空间为[-3σ,3σ] 。

从图4可以看出，杂交率Pc逐渐增大时，可靠度指标有逐渐变小的趋势，当Pc=0.7时，可靠度指标最小，当Pc大于0.7时，可靠度指标又逐渐增大。

2.3.3 杂交池比例大小Sp对可靠度指标的影响

图5给出了算例1在不同种群规模时的可靠度指标，其中种群规模为40，惯性权重w=0.7，杂交率Pc=0.7，搜索空间为[-3σ,3σ] 。

由图5可以看出:杂交池的比例过大和过小，所得的可靠度指标均不是最优。一般情况下，杂交池比例的大小取0.2～0.3，本文中杂交池比例的大小取为0.2。

以上各控制参数对可靠度指标的影响，不仅在该例子中进行了分析，对更多变量情况也进行了同样的分析，其结果与以上分析结果基本相同，只是随着随机变量的增加，需要增加进化代数。

3 结论

1）借鉴遗传算法中的杂交概念，将其引入PSO算法，在每次迭代中，根据杂交概率选取指定数量的粒子放入杂交池内进行两两杂交，该方法改善了PSO方法的全局搜索能力，提高了算法的收敛速度和计算精度。

2）利用MPSO的寻优能力，计算边坡的可靠度和验算点，为边坡可靠性分析提供了一种新方法。

[1]HASSAN A M.WOLFF T F.Search algorithm for mini⁃mum reliability index of earth slope[J].Journal of Geotechnical and Geoenvironmental Engineering,1999,125(12):301-308.

[2]CHRISTIAN J,LADD C,BAECHER G Reliability ap⁃plied to slope stability analysis[J].Journal of Geotechnical En⁃gineering,1994,120(12):2180-2207.

[3]EL-RAMLY H,MORGENSTERN N R,CRUDEN D M,Probabilistic slope stability analysis for practical[J].Canadian Geotechnical Engineering,2002,39(3):665-683.

[4]LOW B.K.Efficient Probabilistic Algorithm Illustrated for a Rock Slope[J].Journal of Rock Mechanics and Rock Engi⁃neering,2008,41(5):715-734.

[5]徐军，邵军，郑颖人.遗传算法在岩土工程可靠度分析中的应用[J].岩土工程学报，2000,22(5):586-589.

[6]桂劲松，康海贵.结构可靠度计算的最优化方法及其Matlab实现[J].四川建筑科学研究，2004，30（2）：18-20.

[7]张利彪,周春光,马铭,等.基于粒子群算法求解多目标优化问题[J].计算机研究与发展，2004，41(7):1286-1291.

[8]刘大鹏,周建中,杨俊杰.土钉支护结构优化设计中的混合粒子群优化算法[J].中国公路学报,2005,18(4):32-36.

[9]Ang,H.S.,Tang,W.H.Probability concepts in engineer⁃ing planning and design[M].New York:John Wiley,1984.

[10]LOW B.K.Efficient Probabilistic Algorithm Illustrated for a Rock Slope[J].Journal of Rock Mechanics and Rock Engi⁃neering,2008,41(5):715-734.