浅谈常微分方程奇解与包络

姜 曼（西安交通工程学院,西安 710300）

浅谈常微分方程奇解与包络

姜 曼
（西安交通工程学院,西安 710300）

对常微分方程教科书中采用的不同方式来定义奇解，进行了讨论，指出了用包络定义奇解的不相容性，和用唯一性破坏定义奇解的合理性。给出了求常微分方程以已知函数求奇解的多种方法,方法和实例表明，这对有奇解的常微分方程以及同一奇解的常微分方程都是非常多的.

常微分方程；定义；奇解；包络

0 前言

常微分方程，是一个有悠久历史发展迅速的学科，是一个理论和实际应用都很有价值的学科，它不但自身应用十分广泛，而且对其他学科都有非常大的帮助。许多科学家都对微分方程有了不同程度的研究。比如牛顿，莱布尼茨等。常微分方程是17世纪和微积分同时诞生的一门理论性非常强，研究应用非常广泛的学科之一，常微分方程的发展分了四个发展阶段，这四个发展阶段对常微分方程非常关键。

牛顿和莱布尼茨创立的微积分是不严格的, 18世纪的数学家们一方面努力探索微积分严格化的途径, 一方面往往又不顾基础问题的困难而大胆前进, 大大地扩展了微积分的应用范围, 尤其是与力学的有机结合, 当时几乎所有的数学家也是力学家.

牛顿和莱布尼茨都处理过与常微分方程有关的问题. 微积分的产生的一个重要的动因来自于人们探求物质世界运动规律的需求. 一般地, 认识规律 很难完全靠实验观测认识清楚,因为人们不太可能观测到运动的全过程. 运动是服从一定的客观规律的, 物质运动与瞬时变化率之间有着紧密的联系, 而这种联系, 用数学语言表述出来, 即抽象为某种数学结构, 其结果往往形成一个微分方程, 一旦求出其解或研究清楚其动力学行为, 运动规律就一目了然了。

为了便于讨论，现将第一种定义写出：

1 奇解的定义

在通常教科书中对奇解的定义采用两种方法：一种是用积分曲线族的包络（以下简称包络）定义奇解；另一种是用奇解的唯一性被破坏定义奇解.

由下面的讨论可知，用第一种方法定义奇解将会产生混乱，甚至会出现不相容的情况.第二种定义则来源于微分方程本身内容，准确而不会产生歧义.

为了便于讨论，现将第一种定义写出：

1.1 定义1

微分方程的一个解称为奇解，如果在这个解的每一点上还有方程的另外一些解存在，在它上面的每一点唯一性都不成立,奇解对应的曲线上每一点至少有方程的两条积分曲线通过[1]。

1.2 定理1[3]

设函数F对是连续的。而且对y,p有连续的偏微商，若函数是微分方程的一个奇解，并且则奇解满足一个称之p-为判别式的联立方程。

1.3 证明

因为它是微分方程有解，所以它自然满足上述判别式的第一式，现证它也满足第二式.假设不然，则存在使得其中注意：因此，我们可以利用隐函数定理推出，由方程在方程点附近唯一地确定了其中函数满足：这就证明了微分方程所有满足的解必定是这一个微分方程的解.另一方面,由于函数在点的某邻域是连续的，而且对有连续的偏微商所以微分方程满足初值条件的解是存在而且是唯一的。由此可见，在函数的某一邻域内是微分方程的唯一解。

这就证明了，在点附近不能存在微分方程的其它解在该点与相切.这个结论与是奇解的假设是不能相容的。因此，反证法的假设不能成立，亦即也满足上述p-判别式的第二式.定理从而得证. 应该强调指出，上面介绍的两种方法，只是提供求奇解的途径，所以p-判别曲线是不是奇解，必须进行检验。

2 包络的定义

我们现在给出曲线族包络的定义，并介绍它的求法：

2.1 定义1

设给定单参数曲线族f（x,y,c）=0及曲线，如果在曲线上的每一点都有曲线族的某一曲线与之相切，并且在曲线的每一段上都有曲线族中的无穷多条曲线与之相切，我们就把这条曲线称为曲线族的包络[2].把由方程组消去c所得的曲线（如果有曲线），记为，并称之为曲线族的c-判别曲线. 但是，一般的曲线族不一定有包络.例如同心圆族，平行直线族都没有包络.那么对于给定的曲线族，如何求它的包络（如果有包络）呢？

我们把由方程组所得的曲线（如果有曲线），记为f（x,y）=0 ，并称之为曲线族的c-判别曲线.我们有下述定理：

2.2 定理 1

设f（x,y,c）及其各一阶偏导数是它的的连续函数.若f（）x,y有=0包络，并且该包络是一条连续曲线，且有连续转动的切线，则它必须包含在判别曲线f（x,y）=0中[2]。

2.3 定理 2

设微分方有通积分又设曲线族有包络，则包络是微分方程的奇解[3]。证明： 根据奇解和包络的定义，我们只需证明是G微分方程的解.在G上任取一点其中则由包络的定义可知，曲线族中有一条曲线在点与相切， 因为是微分方程的一个解，所以由xJ于是任意给定的，这后一等式就说明了是微分方程的解.定理2证完.

3 奇解与包络的关系

由奇解与包络的定义显然可以知道，微分方程的积分曲线族（即通积分所对应的曲线族）的包络，如果存在，则必定是方程的奇解.事实上，在积分曲线族的包络上的点（x,y）处的x,y和y满足方程.这就是说，包络是积分曲线.其次，在包络的每一点，积分曲线族中都至少有一条曲线与包络相切.因此，包络是奇解.由此可知，如果知道了微分方程的通积分，那么该通积分的包络，也就是奇解，但请注意，奇解不一定是包络[4]。

[1]都长青,焦宝聪，焦炳照.常微分方程[M].北京师范学院出版社，1993（01）:132-135.

[2]蔡燧淋．常微分方程[M].浙江大学出版社,1998（01）:30-37.

[3]丁同仁，李承治.常微分方程[M].高等教育出版社 ,1998（01）：94-95.

[4]王秀兰.奇解与可分离变量方程的解[J].曲阜师范大学学报（自然科学版）,1991（02）.