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探讨指、对数图象交点问题

2015-08-18叶涛

高中生学习·高二版 2015年6期
关键词:增函数切点交点

叶涛

高中教材没有探讨函数[y=ax与y=logax]图象的交点问题,仅仅只是在同一坐标系中画了函数[y=12x与y=log12x]以及[y=2x与y=log2x]的图象. 这张图让很多同学都误以为:函数[y=ax(01)与y=logax(a>1)]的图象无交点. 这种认识是错误的.

比如,函数[y=116x与y=log116x]有三个公共交点,其中有两个公共交点[N112,14,N214,12]关于直线[y=x]对称,还有一个交点落在直线[y=x]上.另外对于函数[y=1.1x]来说,由于其图象上的一点[2,1.21]在直线[y=x]的下方,因而它的图象与直线[y=x]相交且有两个交点,即:函数[y=1.1x与y=log1.1x]的图象有两个落在直线[y=x]上的交点. 由于函数[y=ax与][y=logax(a>0][且a≠1)]互为反函数,其图象关于直线[y=x]对称,可以通过讨论函数[y=ax]的图象与直线[y=x]的交点个数确定函数[y=ax与y=logax]图象交点的个数.

我们可以通过几何画板绘制出函数[y=ax(a>1)]的图象,不难发现当底数[a]较大时与直线[y=x]无交点;当底数[a]较小,非常接近1[a>1]时有两个交点;当[01)]的图象与直线[y=x]的交点情形.

如下图在指数函数[y=ax(a>1)]的图象上,先求斜率为1的切线与[y=ax(a>1)]相切的切点[P]的坐标,根据切点[P]与直线[y=x]的相对位置确定函数[y=ax]的图象与直线[y=x]的交点情形,亦即:令[y=axlna=1]得,[x=-loga(lna).]

切点坐标[P-loga(lna),1lna],若点[P]在直线[y=x]上即[-loga(lna)=1lna得,a=e1e].

(1)当[a=e1e]时,函数[y=ax]的图象与直线[y=x]相切于点[P(e,e).]

(2)当[a>e1e]时,[lna>1e, ∴0<1lna

则有[loga1lna

此时切点[P-loga(lna),1lna]在直线[y=x]的上方,也即[y=ax(a>e1e)]的图象恒在直线[y=x]的上方,函数[y=ax]的图象与直线[y=x]无交点.

(3)当[1e],

则有[loga1lna>logae],[∴-logalna>1lna].

此时切点[P-loga(lna),1lna]在直线[y=x]的下方,也即[y=ax(1

由上述分析不难得到以下定理.

定理1 对于指数函数[y=ax(a>1)]的图象,当[a=e1e]时,其与直线[y=x]相切于点[P(e,e)];当[a>e1e]时,它恒在直线[y=x]的上方;当[1

由于函数[y=ax与y=logax(a>0且a≠1)]互为反函数,其图象关于直线[y=x]对称,因此有以下结论.

定理2 对于对数函数[y=logax(a>1)]的图象,当[a=e1e]时,其与直线[y=x]相切于点[P(e,e)];当[a>e1e]时,它恒在直线[y=x]的下方;当[1

定理3 对于函数[y=ax(a>1)与y=logax(a>1)]的图象,当[a=e1e]时,有且只有一个公共点;当[a>e1e]时,它们没有公共点;当[1

当[0

[练习]

1. 在[P(1,1),Q(1,2),M(2,3)和N(12,14)]四点中,函数[y=ax]的图象与其反函数的图象的公共点只可能是点( )

A. [P] B. [Q] C. [M] D. [N]

2. 下列结论中错误的是( )

A. 若点(2,3)在函数[y=ax]的图象上,则点(3,2)必在函数[y=logax]的图象上

B. 函数[y=ax]的图象必过点(0,1),就是说函数[y=logax]的图象必过点(1,0)

C. 若点[m,n]既在函数[y=ax]的图象上,又在函数[y=logax]的图象上,则[m=n]

D. 函数[y=logax]的图象与直线[y=x]不一定有交点

3. 对于问题“函数[f(x)=ax(a>1)]与其反函数[f-1(x)=logax]的图象有多少个公共点?”有如下观点:(1)当[a>1]时两函数图象没有公共点,只有当[01)]的图象与直线[y=x]的公共点的个数,为此可构造函数[F(x)=ax-x(a>1),]然后利用[F(x)]的最小值进行讨论.

请参考上述观点,并判断以下结论正确的是 (填写序号).

①当[a>e1e]时,函数[f(x)=ax(a>1)]的图象与直线[y=x]没有公共点

②当[a>e1e]时,函数[f(x)=ax(a>1)]的图象与直线[y=x]有两个相异公共点

③当[a=e1e]时,函数[f(x)=ax(a>1)]的图象与直线[y=x]没有公共点

④当[a=e1e]时,函数[f(x)=ax(a>1)]的图象与直线[y=x]有惟一的公共点

⑤当[11)]的图象与直线[y=x]没有公共点

⑥当[11)]的图象与直线[y=x]有两个相异的公共点

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