解题后反思在高中数学中的积极意义

阎黎明

【摘 要】解题后反思，命题的意图是什么？考核的概念、知识和能力是什么？验证结论是否正确，命题的条件的应用是否完备？不断地对问题进行观察分析、归纳类比、抽象概括，對所蕴含的数学方法、数学思想进行不断地思考并做出新的判断，体会解题带来的乐趣，享受探究带来的成就感，逐步养成独立思考、积极探究的习惯，并懂得如何学数学。

【关键词】反思    高中数学    意义

由于认知结构水平的限制，学生表现出对知识不求甚解，热衷于做大量题，不善于解题后对题目进行反思，普遍欠缺一个提高解题能力的重要环节，也不善于纠正和找出自己的错误，缺乏解题后对解题方法、数学思维的概括，掌握知识的系统性较弱、结构性较差。一道数学题经过一番艰辛，苦思冥想解出答案后，学生必须认真进行探索：命题的意图是什么？考核的概念、知识和能力是什么？验证解题结论是否正确合理，命题所提供的条件的应用是否完备？求解论证过程是否判断有据，严密完善？等等。所以，为了提高解题能力，应该倡导和训练学生进行有效的解题反思。

解题反思的积极意义有如下几个方面：

一、积极反思，查缺补漏，确保解题的合理性和正确性

学生解数学题，有时由于审题不确，概念不清，忽视条件，套用相近知识，考虑不周或计算出错，难免产生这样或那样的错误，即学生解数学题，不能保证一次性正确和完善。所以解题后，必须对解题过程进行回顾和评价，对结论的正确性和合理性进行验证。可是一些同学把完成作业当成是赶任务，解完题目万事大吉，头也不回，扬长而去，由此产生大量谬误，应该引起重视，加以克制，引以为戒。如：1. 结论荒唐，引为笑柄;2. 以特殊代替一般;3. 臆造“定理”，判断无据，以日常概念代替科学概念。以上常见的错误，不胜枚举。由此可见，解题反思的积极意义及其重要性，必须引起师生在教学中的足够重视。

二、积极反思，探求一题多解和多题一解，提高综合解题能力

数学知识有机联系纵横交错，解题思路灵活多变，解题方法途径繁多，但最终却能殊途同归。即使一次性解题合理正确，也未必能保证一次性解题就是最佳思路、最优最简捷的解法。不能解完题就此罢手，如释重负，应该进一步反思，探求一题多解，多题一解的问题，开拓思路，勾通知识，掌握规律，权衡解法优劣，在更高层次更富有创造性地去学习、摸索、总结，使自己的解题能力更胜一筹。一题多解，每一种解法可能用到不同章节的知识，这样一来可以复习相关知识，掌握不同解法技巧，而多题一解每一种解法又能解很多道题。然后比较众多解法中对这一道题而言哪一种最简捷、最合理，把本题的每一种解法和结论进一步推广，同时既可看到知识的内在联系、巧妙转化和灵活运用，又可梳理出推证恒等式的一般方法和思路：从左到右、从右到左、中间会师、转化条件等。善于总结，掌握规律，探求共性，再由共性指导我们去解决碰到的这类问题，便会迎刃而解， 这对提高解题能力尤其重要。

三、积极反思、系统小结，使重要数学方法、公式、定理的应用规律条理化，在解题中应用自如、改进过程，寻找解题方法上的创新

在问题解决之后，要不断地反思：解题过程是否浪费了重要的信息？能否开辟新的解题通道？解题过程多走了哪些思维回路？思维、运算能否变得简捷？是否拘泥于思维定式，照搬了熟悉的解法？通过这样不断地质疑、不断改进，让解题过程更具有合理性、科学性、简捷性。

例1：求证：正四面体和正八面体相邻两侧所成的二面角互补。

此题有常规的解题思路：分别求出两个多面体的二面角的值，再求和。这也是一般参考书上的解法。探索解题过程，总感觉这样解题很笨拙，缺少灵气！不能反映两个多面体的巧妙结构。事实上，问题隐含了“结构”这个重要信息，那么，能否把“结构”作为切入点去探究问题呢？这样，此题的对学生能力的提高，意义就大不一样了

四、重视知识的迁移和应用，探究问题所含知识的系统性

解题之后，要不断地探究问题的知识结构和系统性。能否对问题蕴含的知识进行纵向深入地探究？能否加强知识的横向联系？把问题所蕴含孤立的知识“点”，扩展到系统的知识“面”，通过不断地拓展、联系，加强对知识结构的理解，进而形成认知结构中知识的系统性。

例2.试证以过椭圆的焦点的弦为直径的圆必和椭圆相应的准线相离。

证明完这道题后，可进一步引导学生分析和思考：

（1）把题目中的条件“椭圆”改为“抛物线”，结论有何变化？

（2）把题目中的条件“椭圆”改为“双曲线”，结论又有何变化？

学生在这三题的证明过程中发现：在不同曲线下可得不同的结论，椭圆是相离，抛物线是相切，双曲线是相交，这三道看似不同的题目的证明方法却完全相同，都可以根据圆以及曲线的定义来证明。

五、整合知识，创新设问

要让学生明白，问题与问题之间不是孤立的，许多表面上看似无关的问题却有着内在的联系，解题不能就题论题，要寻找问题与问题之间本质的联系，要质疑为什么有这样的问题？它和哪些问题有联系？能否受这个问题的启发，将一些重要的数学思想、数学方法进行有效的整合，创造性地设问？让学生在不断的知识联系和知识整合中，丰富认知结构中的内容，体验“创造”带来的乐趣。这对培养学生的创造思维是非常有利的

六、探究规律，形成小结

对每个问题都要寻根问底，能否得到一般性的结果，有规律性的发现？能否形成独到的见解，有自己的小发明？点滴的发现，都能唤起学生的成就感，激发学生进一步探索问题的兴趣，长期的积累，更有利于促进学生认知结构的个性特征的形成，并增加知识的存储量。

总之，解题后引导学生不断地对问题进行观察分析、归纳类比、抽象概括，对问题中所蕴含的数学方法、数学思想进行不断地思考并做出新的判断，让学生体会解题带来的乐趣，享受探究带来的成就感。长此以往，学生就能逐步养成独立思考、积极探究的习惯，并懂得如何学数学，这是学好数学的必要条件。

【参考文献】

[1]李求来，等.中学数学教学论[M].长沙：湖南师范大学出版社，1992.

[2]章士藻.中学数学教育学[M].南京：江苏教育出版社，1996.