基于不可分离变量的非期望SBM效率评价方法

郭 文，孙 涛，朱建军

（1．南京航空航天大学经济与管理学院，江苏南京211106；2．滑铁卢大学工程学院，安大略滑铁卢N2L3G1）

基于不可分离变量的非期望SBM效率评价方法

郭 文1，2，孙 涛1，朱建军1

（1．南京航空航天大学经济与管理学院，江苏南京211106；2．滑铁卢大学工程学院，安大略滑铁卢N2L3G1）

基于松弛变量度量法（slacks－based measure，SBM）评价模型，首先区分投入、期望产出和非期望产出为可分离变量和不可分离变量，构建了复杂生产系统基于不可分离变量的非期望SBM效率评价模型，该模型更加符合生产系统的实际生产过程；其次基于非期望产出总量规制目标，进一步构建了非期望产出规制视角下的不可分离变量非期望SBM模型，该模型能直接计量非期望产出规制对系统整体效率的影响程度。最后，以0．5为步长，运用实例检验了非期望产出规制影响生产系统整体效率的灵敏度。

不可分离变量；非期望产出规制；非期望松弛变量度量法；总量规制目标

0 引 言

数据包络分析（data envelopment analysis，DEA）方法在拥有相同结构决策单元的复杂生产系统效率评价中具有巨大的优势［1］，但该方法无法获得投入、产出松弛与效率之间关系。文献［2］提出的松弛变量度量法（slacks－based measure，SBM）模型是一种改进的DEA方法，该模型将决策单元的投入、产出松弛直接反映在评价值的计算中，很好地解决了上述问题。然而，一些复杂生产系统的生产过程不仅产生期望产出，也产生非期望产出，并且非期望产出与期望产出具有“零联合性”，在此基础上，很多学者构建了多种非期望产出SBM模型，并将其应用于复杂生产系统效率评价的研究中［3－6］。文献［3－4］在商业银行效率评价的实证研究中应用了非期望产出SBM模型，结果表明不考虑非期望产出（不良贷款）的效率评价模型明显高估了决策单元的效率；文献［5－6］则采用非期望SBM（un－desirable SBM，USBM）模型分析了经济生产系统的环境效率，认为经济生产系统的环境外部性严重影响了经济发展的可持续性，SO2、CO2等污染物应考虑在效率分析模型中，从而与经济生产系统的实际情况更加契合。随着基于非期望产出的效率评价研究的深入，非期望产出的减少和规制也成为该领域研究的重要分支：文献［7－8］研究了经济生产系统的环境效率，并分析了环境规制成本问题；文献［9－10］也从理论上阐述了减少和规制非期望产出的意义，并且非期望产出的总量控制对决策单元的效率具有显著影响［7－10］。

虽然USBM模型将生产系统的非期望产出引入到模型中，很好地解决了生产系统的外部负效应问题，然而，大多数USBM模型仍然存在两方面的局限。首先，传统的USBM模型忽视了投入、期望产出和非期望产出的不可分离特性［11］。文献［11］的研究表明，考虑投入、产出间不可分离性的SBM模型更准确地反映了生产系统的实际生产过程，评价结果更符合实际情况；然而，该文献提出的模型中假设不可分离投入、产出同比例变化，笔者认为非期望产出的减少往往需要外部的强制规制，即不可分离非期望产出的变化比例与之不同。其次，文献［9－10］的实证提出了对生产系统非期望产出的规制设想，然而这些研究都属于理论研究，缺乏计量模型中的体现。鉴于此，本文基于USBM模型的建模思路，首先考虑投入、期望产出和非期望产出间的不可分离性，构建了基于不可分离变量的非期望产出SBM模型，然后在非期望产出总量规制的思路下进一步构建了基于非期望产出规制目标下的不可分离变量非期望产出SBM模型，并在应用研究中分析了规制目标的灵敏度。

1 传统USBM模型

文献［6］在文献［2］提出的SBM模型的基础上，考虑工业生产系统能源在使用过程中产生的CO2、SO2等污染物，将这些污染物定义为非期望产出，从而引出传统USBM模型。考虑一个包含m个决策单元DMUj（j＝1，2，…，m）的生产系统。生产过程包含r个投入、s个期望产出和t个非期望产出，那么，可用xj来表示决策单元j的资源投入向量，yj表示决策单元j的产出向量，zj表示决策单元j的非期望产出向量。则生产系统生产可能集P（x）可以表示为

式中，λj∈R＋是一个正数列向量，本文用sx∈Rr、sy∈Rs和sz∈Rt来表示系统的投入松弛、期望产出和非期望产出松弛矩阵，那么USBM模型如下：

上述USBM模型基于生产系统规模报酬可变的经济假设，文献［12－13］的研究表明，基于规模报酬不变的经济假设下只需将模型中的约束条件剔除即可。上述模型的求解可以借鉴文献［14］的转化方法，本文不再赘述。

2 基于不可分离变量的USBM

前文已经提及传统USBM模型忽视了生产系统投入产出变量间的不可分离性，本文参考文献［11］对于可分离变量和不可分离变量的定义，先假设不可分离变量呈等比例变化，并将其引入USBM模型中。为了区分可分离变量和不可分离变量，本文以上标“S”表示可分离变量，上标“NS”表示不可分离变量，则生产可能集可以进一步表示为

根据上述分析，本文建立基于不可分离变量的USBM（non－separable USBM，N－USBM），如模型式（4）所示，并采用N－USBM模型来评价考虑不可分离变量的决策单元SBM效率：

模型式（4）同时将可分离变量和不可分离变量的松弛变量引入到目标函数中，各决策单元的效率评价值由决策单元所有投入的混合效率以及所有产出的混合效率构成，其中

表示决策单元DMUo所有投入混合效率。

表示决策单元DMUo所有产出混合效率。

上述模型假设不可分离变量中不可分离投入、不可分离期望产出和不可分离非期望产出等比例变化。然而，非期望产出的减少往往需要额外的成本，即非期望产出的变化比例与期望产出不同，基于该假设，模型式（4）可以改进为

为了区分模型式（4）和模型式（5），本文将前者称为N－USBM（I）模型，后者称为N－USBM（Ⅱ）模型。

定理1 生产系统中的决策单元DMUo，利用上述N－USBM（Ⅱ）模型评价得到的效率

再假设

由于ρo＊是决策单元对应的N－USBM（Ⅱ）模型最优解，可得又因为是决策单元的最优解，则

证毕

定理1表明，N－USBM模型对于决策单元效率值的评价结果具有单调性，即：在所有决策单元中，投入少、期望产出高、非期望产出少的决策单元对应的效率评价值相对更高。

3 非期望产出规制视角下的N－USBM

传统的DEA方法主要关注生产投入、产出的改进，自USBM模型被提出之后，非期望产出的减少也成为决策单元效率改进的一个重要方面。然而，正如文献［7］的研究结论，由于区域经济生产系统间的紧密联系，以及环境污染物的特殊形态，诸如SO2、CO2等非期望产出在单个区域内的规制和控制非常困难，而对整个生产系统的非期望产出的规制更加符合实际，也容易实现。因此，本文借鉴模型式（5）的建模思路，基于非期望产出总量规制目标构建如下约束条件：

基于以上分析，本文将式（11）引入到N－USBM（Ⅱ）模型中，构建了基于非期望产出规制的N－USBM模型（regulated N－USBM，RN－USBM）

该可行解对应的目标函数值为

由于N－USBM模型的最优解为ρ＊o，则可知ρ＊o≤ρo，而

证毕

定理2表明，RN－USBM模型评价得到的决策单元的整体效率值不小于N－USBM（Ⅱ）模型评价得到的单个决策单元的效率均值，即非期望产出规制目标提高了各决策单元的效率均值，提高了生产系统的整体效率。

4 应用研究

为了检验本文模型在复杂生产系统效率评价中的优势，本文采用文献［15］中的生产系统实际数据进行应用研究，构建了一个包含12个决策单元、2个投入、2个期望产出和1个非期望产出的生产系统，其中投入2、期望产出2和非期望产出为不可分离变量，其余为可分离变量，具体如表1所示（部分数据来源于文献［15］）。

采用模型式（2）、模型式（5）和模型式（12）评价上述生产系统各决策单元的生产效率，为了对比RN－USBM模型与前两个模型的差异，本文选择非期望产出规制总量目标（Q）取106．5，即要求非期望产出总量减少76．5。3个模型的评价结果如表2所示。

表1 生产系统投入产出数据

表2 非期望产出规制、不可分离变量USBM模型评价结果

对比USBM模型和N－USBM（Ⅱ）模型的决策单元效率评价结果可知，USBM模型高估了决策单元的效率，主要原因在于USBM模型忽视了投入产出变量的不可分离特性，即投入2、产出2和非期望产出松弛量的变动是关联的。对比N－USBM（Ⅱ）模型和RN－USBM模型的决策单元效率评价结果发现，当Q＝106．5时，决策单元的效率值以及生产系统整体效率值均增大，表明非期望产出规制有助于生产系统效率的提升。另外，3种模型评价结果的差异也造成了决策单元效率排名的变化。

为了进一步分析决策单元无效率的主要原因，本文测算了USBM模型和N－USBM（Ⅱ）模型中的投入产出松弛量，测算结果如表3所示。

表3 USBM模型、N－USBM（Ⅱ）模型投入产出松弛量

以决策单元C为例，无效率的主要原因是产出2小于前沿面25．162 5，而非期望产出高于前沿面5．977 6。表3的结果还表明，N－USBM（Ⅱ）模型改变了决策单元的效率优化路径，以决策单元C为例，其USBM模型评价的投入产出松弛矩阵为［12．300 0，44．400 0，0．0000，9．900 0，6．000 0］T，而其N－USBM（Ⅱ）模型评价的投入产出松弛矩阵为［12．300 0，0．0000，0．0000，25．162 5，5．977 6］T，原因在于N－USBM（Ⅱ）模型中投入2、产出2和非期望产出是不可分离的，投入2与产出2的变化比例为0．907 5，非期望产出的变化比例为0．998 5（见表2），其松弛量的变动也是关联的。

图1 非期望产出规制灵敏度分析

为了进一步分析非期望产出规制总量目标影响生产系统整体效率的灵敏度，本文设置步长为0．5，Q从总量183开始递减，发现当Q＝108时，生产系统整体效率开始上升。限于篇幅，本文图1仅以非期望产出规制总量目标Q＝108前后15个步长的生产系统整体效率变动情况来反映其灵敏度。

由图1可以发现，Q的取值与生产系统整体效率呈负向关系，随着Q的取值减小，系统效率值缓慢提升，这表明非期望产出规制能够改善系统整体效率。然而，当Q≥108．5时，系统整体效率值不变，说明非期望产出规制具有门槛值，高于门槛值的非期望产出规制总量目标不能发挥改善系统整体效率的作用。通过进一步细化步长取值，本文得到案例中的非期望产出规制总量目标门槛值为108．287，即Q≤108．287时，生产系统整体效率开始升高。显然，图1的结果验证了定理2的结论，即适当的非期望产出规制总量目标能够提高生产系统的整体效率。

5 结 论

针对实践中存在不可分离投入产出的复杂生产系统的生产效率评价问题，本文首先提出了基于不可分离投入产出变量的USBM效率评价模型，该模型改进了传统USBM模型忽视生产系统投入、期望产出和非期望产出变量的不可分离特性的缺陷，更加契合此类生产系统的实际生产过程。但在实际应用中，需要根据复杂生产系统不可分离投入产出变量的特性来选择N－USBM（I）模型或N－USBM（Ⅱ）模型。其次，从非期望产出规制的研究视角进一步将上述模型拓展为非期望产出规制视角下的N－USBM模型，该模型将非期望产出规制总量目标引入模型的约束中，能够直接计量非期望产出规制对系统整体效率的影响程度（灵敏度），并且可通过细化步长的方式探寻非期望产出规制总量目标的门槛值。本文的研究对于存在不可分离投入产出的复杂生产系统效率评价具有显著优势，也为复杂生产系统非期望产出规制总量目标的设定政策提供了一种定量分析手段，但决策单元非期望产出规制具体目标对系统整体效率、决策单元效率的影响尚待进一步讨论。

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E－mail：guowen＿870608＠163．com

孙 涛（1959－），男，教授，博士，主要研究方向为管理科学与工程。E－mail：nuaastao＠163．com

朱建军（1976－），男，教授，博士，主要研究方向为系统工程理论与方法。

E－mail：zhujianjun＠nuaa．edu．cn

Undesirable SBM system efficiency evaluation methods based on non－separable variables

GUO Wen1，2，SUN Tao1，ZHU Jian－jun1
（1．College of Economic and Management，Nanjing University of Aeronautics and Astronautics，Nanjing 211106，China；2．College of Engineering，University of Waterloo，Waterloo N2L3G1，Canada）

On the basis of slacks－based measure（SBM）model，firstly，divide the inputs，desirable outputs and undesirable outputs into separable and non－separable variables，build the undesirable SBM efficiency evaluation model based on non－separable variables to the complex production system．This model is more suitable to the actual production process of the production system．Then，on the basis of total regulation target of undesirable outputs，build the non－separable variables undesirable SBM model according to the perspective of regulation of undesirable outputs，this model measures the impact of regulation of undesirable outputs on the efficiency of the whole system．Finally，take 0．5as the step length，use an example to test the sensitivity of its impact．

non－separable variables；regulation of undesirable outputs；undesirable slacks－based measure（SBM）；total regulation target

O 224

A

10．3969／j．issn．1001－506X．2015．06．17

郭 文（1987－），男，博士研究生，主要研究方向为系统工程和系统效率。

1001－506X（2015）06－1331－07

2014－06－03；

2014－10－31；网络优先出版日期：2014－12－09。

网络优先出版地址：http：／／www．cnki．net／kcms／detail／11．2422．TN．20141209．0118．004．html

国家自然科学基金（71171112）；教育部人文社科基金（11YJA790133）；江苏省研究生培养创新工程（KYZZ＿0107）；国家留学基金委2014年国家建设高水平大学公派研究生项目资助课题