一类Lévy噪声驱动倒向随机偏微分方程的随机最大值原理

贾秀利,关丽红,闫 龙

(1.吉林工商学院 基础部,长春 130507;2.长春大学 理学院,长春 130022;3.吉林大学 数学研究所,长春 130012)



研究简报

一类Lévy噪声驱动倒向随机偏微分方程的随机最大值原理

贾秀利1,关丽红2,闫 龙3

(1.吉林工商学院 基础部,长春 130507;2.长春大学 理学院,长春 130022;3.吉林大学 数学研究所,长春 130012)

利用凸变分法和对偶技术,研究一类Lévy噪声驱动的倒向随机发展型偏微分方程的最优控制问题,得到了该问题的随机最大值原理.

Lévy噪声;倒向随机偏微分方程;随机最大值原理

0 引 言

Lévy噪声驱动的随机偏微分方程可用于模拟金融、物理和生物等现象[1-5].文献[6-7]研究了倒向随机偏微分方程解的性质;文献[8]研究了Lévy噪声驱动的倒向随机偏微分方程;文献[8-9]研究了随机偏微分方程的随机最优控制问题;文献[10]研究了倒向随机偏微分方程的随机最优控制问题.

本文考虑下述Lévy噪声驱动的倒向随机偏微分方程的随机最优控制问题:

(1)

其效用泛函为

(2)

1 预备知识

生成的滤流,(Z,Z )是可测空间,μ是其上的σ-有限测度,ζ∈Z.令X是一个Hilbert空间,其范数为‖·‖X.记MF(0,T;X)为所有Ft-适应的X-值过程f={f(t,ω),(t,ω)∈[0,T]×Ω}的集合,使得

记L2(Ω,F,P;X)为所有X-值(Ω,F,P)上ξ随机变量的集合,使得

令V和H是两个可分的Hilbert空间,使得V嵌入到H,并且有关系:V⊂H=H*⊂V*,其中H*和V*分别是H和V的对偶空间.记‖·‖V,‖·‖H,‖·‖V*分别是V,H和V*的范数,〈·,·〉为H的内积,〈·,·〉为V和V*之间的对偶数量积.进一步,记L(V,V*)为从V到V*的有界线性变换空间.

对于下述倒向随机发展方程:

(3)

其中A:[0,T]×Ω→L(V,V*),b:[0,T]×Ω×V×H×Z→H,ξ:Ω→H,满足下述假设条件:

(H1)(i)终值ξ∈L2(Ω,F,P;H),b(·,0,0,0)∈MF(0,T;H);

(ii)A满足下述强制性条件:存在常数α和λ,使得

(iii)A是一致有界的:存在常数C,使得

在假设条件(H1)下,倒向随机发展方程(3)存在唯一的适应解(Y(·),z(·),γ(·,·)).

2 随机最大值原理

令U是可分的Hilbert空间,Uad是U的非空闭凸子集.

定义1如果u(t)∈Uad,且对于几乎所有的t∈[0,T],u(·)∈MF(0,T;U),则随机过程u(·)称为可行控制.所有可行域的集合记为A.

假设:

(H2)ξ∈L2(Ω,F,P;H);算子A:[0,T]×Ω→L(V,V*)满足假设(H1)中的条件(i),(ii);b:[0,T]×Ω×V×H×Z×Uad→H是可测函数,b(·,0,0,0,0)∈MF(0,T;H);对于所有的(t,ω)∈[0,T]×Ω,b(t,ω,y,z,ζ(·),u)是Gteaux可微的,并且其Gteaux导数by,bz,bζ是连续的和一致有界的;

(H3)l:[0,T]×Ω×V×H×Z×Uad→是可测的,对于所有的(t,ω)∈[0,T]×Ω,l(t,ω,y,z,ζ(·),u)是Gteaux可微的,并且其Gteaux导数ly,lz,lζ是连续的和一致有界的;h:Ω×V→是可测的,对于所有的(t,ω)∈[0,T]×Ω,h(y)是Gteaux可微的,并且其Gteaux导数hy是连续的.

对于给定的可行对(u(·);y(·),z(·),ζ(·,·))(admissible pair,即当u是可行控制时,(y(·),z(·),ζ(·,·))是方程(1)对应的适应解),定义下述相关的伴随方程:

(4)

定义Hamiltion函数H:[0,T]×Ω×V×H×Z×Uad×V→为

H(t,y,z,ζ(·),u,k)=〈k,A(t)y〉+(k,b(t,y,z,ζ(·),u))H+l(t,y,z,ζ(·),u).

伴随方程(4)可以用Hamiltion系统的形式给出

(5)

证明:令(u(·);y(·),z(·),ζ(·,·))为任意的可行对,则

(6)

方程(1)的变分方程为

令方程(1)的伴随方程为

再令h′(y(0))=k(0),利用It公式计算k·y,并将其代入式(6)中,取

D=ly+k(t)·by,E=-(lz+k(t)·bz),F=-(lk+k(t)·bζ),

使得

(7)

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(责任编辑：赵立芹)

StochasticMaximumPrincipleforaClassofBackwardStochasticPartialEquationsDrivenbyLévyNoises

JIA Xiuli1,GUAN Lihong2,YAN Long3

(1.DepartmentofBasicCourse,JilinBusinessandTechnologyCollege,Changchun130507,China;2.CollegeofScience,ChangchunUniversity,Changchun130022,China;3.InstituteofMathematics,JilinUniversity,Changchun130012,China)

Using convex variation method and a duality technique,we studied stochastic optimal control problem for backward stochastic partial differential equations with abstract evolution form driven by Lévy noises,and obtained the maximum principle of this problem.

Lévy noises;backward stochastic partial differential equations;stochastic maximum principle

10.13413/j.cnki.jdxblxb.2015.03.23

2014-12-25.

贾秀利(1973—),女,汉族,硕士,副教授,从事微分方程的研究,E-mail:jiaxiaoyi888@126.com.

国家自然科学基金(批准号:11171130).

O211.63

：A

：1671-5489(2015)03-0467-04