一类有序分数阶q-差分方程解的存在性

葛 琦,侯成敏

(延边大学 理学院,吉林 延吉 133002)



一类有序分数阶q-差分方程解的存在性

葛 琦,侯成敏

(延边大学 理学院,吉林 延吉 133002)

考虑一类有序分数阶q-差分方程解的存在性和唯一性.先利用q-指数给出该方程解的表达式,再分别利用Banach压缩映像原理、Krasnoselskii不动点定理、Leray-Schauder选择定理证明该方程解的存在性和唯一性.

有序分数阶q-差分；不动点定理；解的存在性

0 引 言

其中:1<α<2;0<λ<1;β>0;f∈C([0,1]×,)表示Caputo型分数阶q-导数(0

1 预备知识

定义2[9]函数f(x)在区间[0,b]上的q-积分定义为

定义3[9]Riemann-Liouville型分数阶q-积分定义为

Caputo型分数阶q-导数定义为

引理1[9]设α≥0,I是包含原点的实区间,且a,b∈I,f(x),g(x)是定义在I到上的函数,则:

2)[a(x-t)](α)=aα(x-t)(α),xDq(x-t)(α)=[α]q(x-t)(α-1)；

3)Dq[fg](x)=Dq[f](x)g(x)+f(qx)Dq[g](x)；

这里iDq表示与变量i有关的q-导数.

定义4[10]定义标准q-指数函数如下：

其中:q>0;z是复数;

[n]!=[1][2]…[n]; [k]=1+q+q2+…+qk-1;

引理2[9]如果f:[0,1]→是连续函数,则Iq[f]是连续函数.

引理3(Banach压缩映像原理)[11]设X是实Banach空间E上的非空闭子集,T:X→X是压缩算子,则T在X内存在唯一的不动点.

引理4(Krasnoselskii不动点定理)[11]设K是Banach空间E的有界凸闭子集,而T,S:K→E满足:

1)对任意x,y∈K有Tx,Tx+Sy∈K;

2)T是压缩映像;

3)S在K上是全连续的.

则T+S在K内至少存在一个不动点.

2)存在一个x∈∂U,对于λ∈(0,1)有x=λTx.

引理6(Arzela-Ascoli定理)[9]设D⊆n是一个有界域,如果K⊆)有界,且对于任意的ε>0,存在δ>0,使得‖x-y‖<δ⟹|u(x)-u(y)|<ε,∀∀u∈K,则是紧的.

2 主要结果

引理7方程(1)-(2)与如下积分方程等价：

其中

(3)

由y(0)=Dq[y](0)=0,得c0=0.由于

所以

又由于

因此

于是

从而有

进而由Dq[y](1)=β得

因此

为了证明方程(1)-(2)解的存在性和唯一性,对Banach空间C([0,1],)赋范数‖y‖|y(x)|,对于y∈C([0,1],),定义C([0,1],)上的算子F：

(4)

其中Ky定义见式(3).

定理1假设存在一个q-可积的函数L:[0,1]→,使得对于∀x∈[0,1]及∀y1,y2∈,有

|f(x,y1)-f(x,y2)|≤L(x)|y1-y2|,

设

如果Ω<1,则方程(1)-(2)有唯一解.

证明：先证明由式(4)定义的算子F是一个压缩映射.事实上,对于∀y1,y2∈C([0,1],),有

因此,当Ω<1时,算子F是一个压缩映射.由引理3知方程(1)-(2)有唯一解.

特别地,当定理1中的函数L是常数时,即对∀x∈[0,1],L(x)=L,有

又由于

所以,可取

定理2假设:

1)存在一个q-可积的函数L:[0,1]→,使得对于∀x∈[0,1]及∀y1,y2∈,有|f(x,y1)-f(x,y2)|≤L(x)|y1-y2|；

2)存在一个连续函数G:[0,1]→,使得对于∀x∈[0,1]及∀y∈,有|f(x,y)|≤G(x)；

则方程(1)-(2)至少有一个解.

证明：为应用引理4,定义函数

取正实数M1,满足

其次,类似定理1的证明,易证F2是压缩映射,即‖F2[y1]+F2[y2]‖≤ψ‖y1-y2‖.

定理3假设:

1)存在连续函数G1,G2:[0,1]→和单调递增的函数使得对于∀x∈[0,1]及∀y∈,有|f(x,y)|≤G1(x)φ(|y|)+G2(x);

2)存在一个正常数N满足

(5)

其中

则方程(1)-(2)至少有一个解.

[1] Page D N.Information in Black Hole Radiation [J].Phys Rev Lett,1993,71(23):3743-3746.

[2] Youm D.q-Deformed Conformal Quantum Mechanics [J].Phys Rev D,2000,62(9):095009.

[3] Jackson F H.q-Difference Equations [J].Amer J Math,1910,32(4):305-314.

[4] Ferreira R A C.Nontrivial Solutions for Fractionalq-Difference Boundary Value Problems [J].Electron J Qual Theory Differ Equ,2010(70):1-10.

[5] Ferreira R A C.Positive Solutions for a Class of Boundary Value Problems with Fractionalq-Differences [J].Comput Math Appl,2011,61(2):367-373.

[6] ZHAO Yulin,CHEN Haibo,ZHANG Qiming.Existence Results for Fractionalq-Difference Equations with Nonlocalq-Integral Boundary Conditions [J/OL].Advances in Difference Equations,2013,doi:10.1186/1687-1847-2013-48.

[7] ZHAO Yulin,YE Guobing,CHEN Haibo.Multiple Positive Solutions of a Singular Semipositione Integral Boundary Value Problem for Fractionalq-Derivatives Equation [J/OL].Abstract and Applied Analysis,2013.http://dx.doi.org/10.1155/2013/643571.

[8] 孙明哲,韩筱爽.一类分数阶q-差分边值问题的正解 [J].延边大学学报:自然科学版,2013,39(4):252-255.(SUN Mingzhe,HAN Xiaoshuang.Positive Solutions for a Class of Boundary Value Problems with Fractionalq-Differences [J].Journal of Yanbian University：Natural Science,2013,39(4):252-255.)

[9] Almeida R,Martins N.Existence Results for Fractionalq-Difference Equations of Orderα∈[2,3] with Three-Point Boundary Conditions [J].Commun Nonlinear Sci Numer Simul,2014,19(6):1675-1685.

[11] 时宝,张德存,盖明久.微分方程理论及其应用 [M].北京:国防工业出版社,2005:4;14.(SHI Bao,ZHANG Decun,GAI Mingjiu.The Theory and Application of Differential Equations [M].Beijing:National Defense Industry Press,2005:4;14.)

[12] WANG Jinhua,XIANG Hongjun,LIU Zhigang.Positive Solution to Nonzero Boundary Value Problem for a Coupled System of Nonlinear Fractional Differential Equations [J/OL].Int J Differ Equ,2010.http://dx.doi.org/10.1155/2010/186928.

(责任编辑：赵立芹)

ExistenceofSolutionsforaClassofSequentialFractionalq-DifferencesEquation

GE Qi,HOU Chengmin

(CollegeofScience,YanbianUniversity,Yanji133002,JilinProvince,China)

We studied the existence and uniqueness of solutions for a class of the sequential fractionalq-differences equation.Firstly,a representation for the solution to this equation was given viaq-exponential.Then the existence and uniqueness of solutions were proven by means of Banach fixed point theorem,Krasnoselskii fixed point theorem and Leray-Schauder alternative theorem.

sequential fractionalq-difference;fixed point theorem;existence of solutions

10.13413/j.cnki.jdxblxb.2015.03.06

2014-07-03.

葛 琦(1975—),女,汉族,硕士,副教授,从事微分方程理论及应用的研究,E-mail：geqi9688@163.com.

国家自然科学基金(批准号：11161049)和吉林省教育厅“十二五”科学技术研究项目.

O175.6

：A

：1671-5489(2015)03-0377-06