试析泰勒公式及泰勒级数之妙用

陈旭东

（泉州医学高等专科学校泉州市362000）

泰勒公式及泰勒级数在数学的应用中极为广泛，例如泰勒公式在求和以及判断级数的懒散性方面的应用、在函数的斜渐近线方面的应用、在数值积分方面的应用以及在最优理论中的应用，它能够有效的解决数学中遇到的一系列难题，从而可以提高教学水平以及教学质量，开发学生的思维，使学生更好的处理在数学中遇到的一系列难题，从而提高解决问题的能力。

一、泰勒公式和泰勒级数

1.泰勒公式

泰勒公式指的是在高等数学中，用于函数的分析和计算，在函数中，为了求其函数值，可以将一些初等的函数将其转化成一些幂级数进行换算，从而高效并准确的对数学函数进行公式的运算和求解，泰勒公式有利于函数进行精细的分析和计算，打破无理和超越函数的极限对其结果进行换算，有效的简化了计算步骤和计算程序，从而广泛应用于数学计算方面。泰勒公式的使用有其一定的条件：在泰勒公式的使用中，要满足一定的条件才能进行使用，那就是必须保证f(x)n阶可导。

在已知函数中，若该函数足够光滑，那么在该函数一点的各阶导数值的情况下，可利用泰勒公式与该导数值做系数，从而建立一个多项式近似函数，在这一邻域点的值。同时泰勒公式还可以计算出该多项式与实际函数值之间的偏差。

2.泰勒级数

定义：在一个数学函数f（x）中，该函数在点的邻域中具有直到（n+1）阶导数。泰勒级数就是指像此类函数一样的它在计算以及转化中的方式，泰勒级数在数学的计算中是必不可少的，在数学计算中占据着重要的作用。

3.泰勒公式和泰勒级数在数学计算应用的重要作用

在函数的求和过程中，可以对幂函数的求导以及积分非开进行，这样就可以使函数的求和变得相对简单容易一些。泰勒级数对函数的数值进行大概的计算，泰勒级数可以对一个区域进行解析并得到一个函数，它可以被称为解析函数使复分析这种方式得到有效的应用。

4.两者之间的差异性

从泰勒公式以及泰勒级数的定义我们不难看出，泰勒公式对函数的连续导数要求不高，只要求其在0点上可以直接到n+1的连续导数，而泰勒级数要求函数具有任意阶的导数，还要求具有余项，所以，我们可以将泰勒级数作为泰勒公式的延伸来对其进行定义与应用。

5.求函数在0点出的泰勒级数的方法

一种是可以直接计算出它的泰勒级数，主要就是先计算出函数在0点的各阶的导数，将其泰勒级数写出来，并根据余项的收敛来确定其收敛的区域范围，但是运用此方法有一个不可避免的难度就是计算及验证余项，所以一般除了简单的求函数级数的题外，一般都不建议采用此方法进行运算。还有一种办法就是间接的来求该函数级数，一般可以借一些简单的最基本的函数形式进行交换运算，逐项的进行求积，最后可以导出函数的泰勒级数，这是最简单的也是在数学应用中使用最广泛的方法，所以这就要求学生必须掌握基本的函数展开式的方法，以及泰勒公式的使用方法，更好的对其进行运算。

二、泰勒公式和泰勒级数在数学中的应用

1.泰勒公式在求和以及判断级数的懒散性方面的应用

在函数中，不同的函数有不同的结构，所以用泰勒公式的收敛性可以将不同结构的函数都统一为同一结构的幂函数进行求和，它是研究数学领域函数的重要手段主要运用高阶导数进行研究，所以用泰勒公式或者是泰勒级数都可以对级数进行求和并判断级数的懒散性，以下实例就证明了它的这一特性。

例1运用泰勒公式对函数进行求和计算时，首先应该根据该级数的特性，得出该公式的幂级数，之后再根据其幂级数，得出该幂级数的收敛公式，将幂级数换成想要的形式，我们可以设该函数设为另一计算函数，之后得出原级项数级数的和，根据以上步骤，就可以解出该函数的级数。

级数的敛散性的判断在数学的应用中来说是比较困难且复杂的，所以在解题的过程中应该注意对函数的放缩以及早级数的性质的应用，把这些要求应该合理的结合加以应用，才能高效率的解出相应函数[4]。

同时在证明数列的收敛性时，根据数列自身的特性，以及已知条件得出数列n达到相应程度之后，呈现正数且与数列中的某一相关联量同阶无穷小，最后得出数列的收敛性。

2.求函数的斜渐近线

函数的斜渐近线是指在一个函数中，当x的大小属于无穷尽时，函数没有界限的接近一条固定的直线，但是在这一概念中，直线与该函数的垂直距离属于无限小的阶段。所以就可以将这一条固定直线称之为该函数的斜渐近线。

在具体求解曲线方程式的斜渐近线的方程式时，可以根据各个曲线方程式，的已知条件与位置条件并对其进行分析，从而利用泰勒公式，对曲线方程式进行计算分解，之后就可以解出该曲线的斜渐近线方程。

3.泰勒公式在数值积分方面的应用

我们可以将f(x)设为F(x)的原函数，我们如果想要知道区间（a，b）的定积分，可以使用牛顿—莱布尼兹公式得出。但是，有的原函数并不能使用初等函数来代替并表达，还有的函数非常复杂，很难求出或者计算出该函数的积分值，如被积函数的数据特别分散的时候，就不能对这种积分进行合理的计算，所以，在函数数值的积分方面，并不是所有在区间上的可积函数的积分数值都可以用牛顿—莱布尼兹公式计算得出的，定积分是一个确定的数值，但是我们并不知道解决定积分的计算方法，所以，这就必须要求我们必须找出定积分的计算方法，这样我们才能利用泰勒公式建立该函数的定积分的相似的计算公式，这样就可以对定积分进行相近的计算，所以，我们可以根据被积函数的特性，看其是否可以在积分区间上展开形成幂级数，再然后把这个幂级数进行逐项的积分分析，最后用积分以后的级数算出该函数定积分的近似值。

4.泰勒公式在最优理论中的应用

泰勒公式的应用在解答原函数时，是指将原目标函数的点在其附近展开成泰勒多项式，函数与自变量之间的关系，与目标函数的导数和其梯度相关，在计算与研究某一特定方向的变化率和其最大的变化率，就要用到该函数的方向导数和梯度，函数的极大值和极小值的相关问题，主要包括无约束目标函数的极值条件以及无约束优化等问题，为了确定该函数的最优点，一般都先求出若干个极值点并将其进行比较，在设计问题的优化过程中，函数只有在具备了某种特定的性质时，目标函数的局部极小点才能代表全局的极小点，否则一般都无法将其相提并论，在目标函数的约束最优点上，它与目标函数自身的属性特质以及约束函数的特质相关，所以有时候为了要满足约束条件的限制因素，目标函数的自然极点值也并不一定会是该函数的最优点。它的应用主要包括在数值最优理论证明时的应用以及在数值最优化算法设计中的应用[5]。

三、结束语

本文首先介绍了泰勒公式和泰勒级数的一些相关理论知识，进而又通过具体的举例如泰勒公式在求和以及判断级数的懒散性方面的应用、在函数的斜渐近线方面的应用、在数值积分方面的应用以及在最优理论中的应用，具体的讨论了泰勒公式在与泰勒级数高等数学中的广泛应用与其重要性，是非常重要的、必不可少的在数学中计算数值的工具，它可以有效的解决高等数学中的复杂难题，对学术以及科研都有很大的意义。泰勒公式和泰勒级数在高等数学中的应用非常广泛，远不止文章中的这些，它在其他方面也有很广泛的应用，所以，我们应该对其进行更多更深方面的探讨和研究。

[1]石国学.泰勒公式及泰勒级数应用问题举例[J].考试周刊，2014，56:69-70.

[2]齐永波.关于泰勒公式及其应用的思考与讨论[J].学园，2014，33:63.

[3]于祥芬，李莹.泰勒公式的几点应用[J].科教文汇(上旬刊)，2011，02:88+107.

[4]杜晓梅.将函数展开成泰勒级数探微[J].黑龙江生态工程职业学院学报，2014，01:101-102.

[5]莫庆美.泰勒公式在高等数学解题中的使用技巧[J].河南科技，2014，04:198-199.