让“数学思想”在课堂中绽放——《实数》教学设计

刘 菲

（河南省商丘市第一中学）

一、实数的课堂教学目标

知识目标：理解无理数和实数的概念以及实数的分类，知道实数与数轴上的点具有一一对应关系。

能力目标：

1.经历对实数进行分类的过程，培养学生分类意识。

2.感受实数可以用数轴上的点来表示，增进学生数形结合的思想。

情感目标：

1.通过活动探究体会数系扩充对人类发展的作用。

2.善于观察、勇于探究，并能有意识地运用已有知识解决新问题。

二、教学过程

活动一：折纸游戏（数形结合思想）

利用边长为2 的正方形，通过折叠你能得到一个面积为2 的正方形吗？

学生通过动手折叠得到面积为2 的正方形。

活动二：（类比思想）

观察：下列各数是有理数吗？它们有什么特征？

通过学生观察、讨论回顾有理数的概念，即整数和分数统称为有理数。进一步引导学生思考，认识有理数都可以写成两整数比的形式。

提问：如果上面的数多表示为小数形式你会发现什么？

由学生回答，并相互补充。

得出结论：任何一个有理数都可以写成有限小数或者无限循环小数的形式。

通过学生动手操作，发现无限不循环小数的存在，体会为这一类数命名的必要性。

引出新知：无限不循环小数是无理数。

有理数和无理数统称为实数。

类比有理数发现无理数不可以写成两整数比的形式。

无理数命名的来历：

说法一：“rational number”这个单词，日本翻译家把它译做了有理数。我们又从日本译成了中文。在这里，译者只知道“rational”的最常用的意义：有理的，合乎情理的。一般字典上也只有这个译法。但“rational”还有另外一个意思：此“rational number”是指“可以表示为两个整数之比的数”。

说法二：公元前500 年，古希腊毕达哥拉斯学派的弟子希勃索斯发现了一个惊人的事实，一个正方形的对角线与其一边的长度是不可公度的（若正方形边长是1，则对角线的长不是一个有理数）。这一不可公度性与毕氏学派“万物皆为数”（指有理数）的哲理大相径庭。这一发现使该学派领导人惶恐、恼怒，认为这将动摇他们在学术界的统治地位。希勃索斯因此被囚禁，受到百般折磨，最后竟遭到沉舟身亡的惩处。

毕氏弟子的发现，第一次向人们揭示了有理数系的缺陷，证明它不能同连续的无限直线同等看待，有理数并没有布满数轴上的点，在数轴上存在着不能用有理数表示的“孔隙”。而这种“孔隙”经后人证明简直多得“不可胜数”。于是，古希腊人把有理数视为连续衔接的那种算术连续统的设想彻底地破灭了。不可公度量的发现连同著名的芝诺悖论一同被称为数学史上的第一次危机，对以后2000 多年数学的发展产生了深远的影响，促使人们从依靠直觉、经验而转向依靠证明，推动了公理几何学与逻辑学的发展，并且孕育了微积分的思想萌芽。

不可通约的本质是什么？长期以来众说纷纭，得不到正确的解释，两个不可通约的比值也一直被认为是不可理喻的数。15 世纪意大利著名画家达·芬奇称之为“无理的数”，17 世纪德国天文学家开普勒称之为“不可名状”的数。

然而，真理毕竟是淹没不了的，毕氏学派抹杀真理才是“无理”。人们为了纪念希勃索斯这位为真理而献身的可敬学者，就把不可通约的量取名为“无理数”——这便是“无理数”的由来。

想一想：

1.有理数都是带根号的数。

2.带根号的数都是无理数。

通过思考让学生加深对无理数的认识。

判断：

1.实数不是有理数就是无理数。（ ）

2.无理数都是无限不循环小数。（ ）

练习：

三、教学反思

在这节课中，利用折纸游戏为学生营造一个激发探索潜能的氛围，让学生轻松愉快地参与课堂，《数学课程标准》指出“数学教学是数学活动的教学”“让学生经历数学知识的形成与应用过程”。折纸游戏很好地激发了学生的学习兴趣，同时也可以促进学生相互交流、沟通和学习，提高学生的数学观察能力、实践参与能力和分工合作能力。教师由单一的数学知识的传授者的角色，向数学学习活动的组织者、引导者与合作者转变。

学生在对所学过的数进行盘点的过程中，发现以前学习过的数的一个重要特征：“可以表示为两个整数比”。发现不能表示为两个整数比的数，将新知识水到渠成地引入课堂，学生参与了无理数的探索发现全过程，继而通过向学生介绍有关无理数命名的来历，让学生知道“无理数”只是一种命名，并非“无理”而是实际存在的不能写成整数比的数，它和有理数一样，都是现实世界中客观存在的量的反映。

纵观本节课，贯穿了类比思想、分类思想、数形结合思想，这三种数学思想，犹如数学王国的三剑客，拥有了他们便可以在数学王国中策马奔腾、纵横驰骋。