构造函数法求解不等式问题

綦 婷

（云南省会泽县茚旺高级中学）

从教学、解题经验中，我们不难发现在求解函数不等式问题中，若直接构造函数可能会使解题陷入困境。构建函数是解决不等式问题的有效方法，如何在解题过程中构建函数显得十分重要。

一、通过移项构建函数

将不等式的一边进行移项，使不等式的一边为零，然后构造函数，将不等式问题转化成探究函数与x轴之间的位置关系问题，这是构建函数解决不等式问题中最为简便的方法，也是应用最多的方法。比如，证明当x＞1时，lnx+x－1＜2x-2恒成立这个问题，首先将不等式进行移项处理，变不等式为lnx-x+1＜0，构建函数（fx）=lnx-x+1，当x＞1时，f（'x）=1/x－1＜0，则有（fx）在（1，+∞）递减，故（fx）＜（f1）=0，当x＞1时，lnx-x+1＜0恒成立，那么lnx+x-1＜2x-2恒成立也就得证。

二、通过不等式两边去对数的形式构建函数

对于一些包含指数型参数的不等式，通过简单移项构造函数是很难解决问题的，这时就需要使用取对数的方法把不等式转化成普通不等式，再进行函数构造。

三、巧妙调整不等式结构

有的不等式中会出现两个“x”，这样的不等式就要巧妙地调整结构，将x1和x2调整到不等式的两边，例如，已知函数f（x）=（a+1）lnx+ax2+1，证明：当a≤-2时，对任意x1，x2∈（0，+∞），不等式 |f（x1）-f（x2）|≥4（x1-x2）恒成立。假设x1≥x2＞0，因为a≤－2，又f（x）在（0，+∞）上 递 减，所 以|f（x1）-f（x2）|≥4（x1-x2）可 以 变 为f（x2）+4x2≥f（x1）+4x1，其中x1，x1∈（0，+∞），这样便可以构建函数g（x）=f（x）+4x，转化成求g（x）单调性问题。

华东师范大学数学系.数学分析［M］.北京：高等教育出版社，2001.