几何概型中类似“贝特朗概率悖论问题”的一点思考

郑 甜

（贵州省贵阳市第一中学）

新课标人教A 版高中数学教材中新增加了几何概型的教学内容，在教学的过程中往往会遇到较大的困难，学生对于几何概型的理解有一定的困难，特别是要让学生对几何概型的定义和特征进行把握。本文通过分析几何概型中类似贝特朗概率悖论问题对几何概型中的这一问题进行了阐述。

一、几何概型的定义和特点

所谓的几何概型是几何概率模型的简称，也就是每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例的概率模型。高中数学中的几何概型能够在实验中出现无限多个基本事件，而每个基本事件的出现都具有相等的可能性。在教学时教师要让学生理解，在做几何概型的题时要严格把握几何概型的定义和特点，避免出现误解。

贝特朗概率悖论问题一经提出就引起了数学界极大的震动。在新课标人教A 版高中数学教材中引入了古典概型和几何概型的概念，并从古典概型入手，要求学生能够对基本事件进行准确的计数和合理的描述。学生要能够掌握几何概型中的具体情境分析，能够对基本事件的发生进行转换，将其转变为特定区域内的随机取点。教材在几何概型这方面旨在对学生的建模能力和类比猜想能力进行培养和提高，并在其中渗透了丰富的数形结合思想和等价转换思想，是新课标人教A 版高中数学教材中的一项难点内容。

在教学的过程中，几何概型的教学难点就在于如何让学生把握住几何概型的定义和特征，不要出现类似贝特朗概率悖论的问题。

二、贝特朗概率悖论问题

贝特朗概率悖论问题是一个著名的问题，其内容为“有一个半径为1 的圆，在圆内随机地将一条弦去除，那么弦的长度超过圆的内接等边三角形边长的概率有多大？”

该问题就有三种不同的解题方法，之所以会对同一种问题出现多种不同的解法，正是因为等可能的角度不同。

1.如图1 第一幅图，在垂直于三角形任意一边的直径上随机取一个点，并通过该点做一条垂直于该直径的弦，由圆内接正三角形的性质可得，在该点位于半径中点的时候弦长度等于三角形的边长度，当点离圆心的距离小于时弦长度大于三角形边长。所以概率此时若设弦长为y，圆心到直径上的这个点的距离为x，则，假定弦的中点在直径上均匀分布，直径上的点组成样本空间Ω1。两变量的变化率不一样，不能用点离圆心的距离小于1 2 r 的概率取代弦长度大于三角形边长的概率。

2.如图1 第二幅图，通过三角形任意一个顶点做圆的切线，因为等边三角形内角为60°，所以左边右边的角都是60°。由该顶点做一条弦，弦的另一端在圆上任意一点。由图可知弦与切线成60°角和120°角之间的时候弦长度大于三角形边长，所以概率此时若设弦长为y，弦与该切线的夹角为x，则假定弦的另一端在圆周上均匀分布，圆周上的点组成样本空间Ω2。两变量的变化率不一样，所以不能用弦与切线成60°角和120°角之间的概率取代弦长度大于三角形边长的概率。

3.如图1 第三幅图，当弦的中点在阴影标记的圆内时，弦的长度大于三角形的边长，而大圆的弦中点一定在圆内，大圆的面积是πr2，小圆的面积是所以概率假定弦的中点在大圆内均匀分布，大圆内的点组成样本空间Ω3。

三、对贝特朗概率问题的分析

每一个弦都可以被其中点唯一决定。上述三种方法会给出不同中点的分布。方法1 和方法2 会给出两种不同不均匀的分布，而方法3 则会给出一个均匀的方法。

在几何概型中，对某一随机事件的概率可以用体积、面积和长度来进行计算，其中的基本原理就在于每个基本事件都与一个点相互对应，这些点均匀分布，构成了空间几何体、平面区域或者曲线段。尽管几何概型与古典概型有一定的区别，不能用数事件的方式来对概率进行计算，但仍然可以以体积、面积和长度之间的比例来对事件的概率进行计算。

数学的解题方法可以有多种，但结果应该一致，所以贝特朗悖论所提供的几种解法存在一定的问题，虽然其转换过程并无问题，但是转完之后导致了基本事件发生的可能性不等，因此贝特朗所构造的前两种模型是不符合几何概型的，不能用几何概型的方法解决。

新课标人教A 版高中数学教材中加入的几何概型内容是一个教学重点，也是教学的难点。本文通过对贝特朗概率悖论问题的三种解法进行分析，向学生阐明了在解答几何概型题目时应该对几何概型的定义和特征进行把握，避免出现误解的现象。

张晓飞，邓迎春.浅谈以圆为载体的一类几何概型的测度问题［J］.数理化学习：高中版，2014（03）.