解析方程法得双曲线的部分性质

高 欢

（陕西省西安中学）

数形结合的思想是数学中的三大思想方法之一，但在很多学生心中利用“形”研究“数”就是数形结合，那这对“结合”两字的理解是有偏差的。当然将代数问题通过赋予它几何意义使问题变得简单明了，这在高中数学中是很常见的，正因如此，利用“数”去研究“形”——数形结合的另一方面往往被学生忽视，这也是为什么学生在刚刚进入圆锥曲线部分的学习时，常常不知道要做什么，或者为什么要这么做。

圆锥曲线是解析几何的一部分，本应重在让学生感悟解析方程的方法在曲线研究中的价值，然而在圆锥曲线的学习过程中，学生一开始关注到的依旧是曲线的形。在研究圆锥曲线的性质时，学生也觉得可以直观得来，当我们用解析方程法去分析圆锥曲线的对称性、范围时，学生会觉得很多余，自然也感受不到解析方程法的价值。本文将以研究圆锥曲线的部分性质为例，让大家感受解析方程法的神奇之处。

首先，原方程的平方结构，可以保证对称性。

站在函数的角度，求得定义域，可得x 的范围，求得值域可得y在第一象限的范围，结合对称性可得整个y 的范围。

变形二：b2x2-a2y2-a2b2=0

站在一元二次方程的角度，若上式看作关于x 的一元二次方程，则其必有根，可用判别式法求得y 的范围，同理，若上式看作关于y 的一元二次方程，可得x 的范围。

变形三：b2x2-a2y2=a2b2＞0

即（bx+ay）（bx-ay）＞0

站在线性规划的角度，双曲线上的点位于直线bx+ay=0，bxay=0 所围成的角形区域内，而bx+ay=0，bx-ay=0 是区域的边界。注意，如果引导学生细致的思考直线bx+ay=0，bx-ay=0 和双曲线的关系，就可以通过图形提出问题，从而顺利引入双曲线的渐近线这一性质并加以证明：由变形一中（y≥0）可得，随着x 的增加，y 是增加的，并且值越来越接近于。而我们习惯上双曲线的渐进线的引入都略显生硬。

通过上述三种对双曲线标准方程的不同角度的变形，利用解析方程的方法，可以轻松得到双曲线的两个性质：范围和渐近线。在解析几何研究问题的过程中，我们就是要不断给学生强化解析方程研究曲线的思想，让学生深切感受到方程是曲线“数”的体现，当仅仅依靠“形”不能有效解决问题时，只能依靠解析方程的方法。