浅谈函数的对称性

山东省广饶县第一中学 徐 梅

函数是中学数学教学的主线，是中学数学的核心内容，也是整个高中数学的基础.函数的性质是高考的重点与热点，函数的对称性是函数的一个基本性质，利用对称性往往能更简捷地使问题得到解决.

一、函数自身的对称性探究

定理1.函数y=f(x)的图像关于点A (a,b)对称的充要条件是 f(x)+f(2a－x)=2b

证明：（必要性）设点P(x,y)是y=f(x)图像上任一点，

∵点P(x,y)关于点A (a,b)的对称点P '（2a－x，2b－y）也在y=f(x)图像上，

∴2b－y=f(2a－x).

即y+f(2a－x)=2b 故f (x)+f (2a－x)=2b，必要性得证.

（充分性）设点P(x0,y0)是y=f(x)图像上任一点，则y0=f(x0)

∵f(x)+f(2a－x)=2b，

∴f(x0)+f(2a－x0)=2b，

山东省广饶县第一中学 徐 梅

即2b－y0=f(2a－x0).

故点P'（2a－x0，2b－y0）也在y=f(x)图像上，而点P 与点P'关于点A (a，b)对称，充分性得征.

推论：函数y=f(x)的图像关于原点O对称的充要条件是f(x)+f(-x)=0

定理2.函数y=f(x)的图像关于直线x=a 对称的充要条件是f(a +x)=f(a－x)，

即f(x)=f (2a－x)（证明留给读者）

定理3.①若函数y=f(x)图像同时关于点A (a,c)和点B (b,c)成中心对称（a≠b），则y=f(x)是周期函数，且2|a－b|是其一个周期.②若函数y=f(x) 图像同时关于直线x=a 和直线x=b 成轴对称（a≠b），则y=f(x)是周期函数，且2|a－b|是其一个周期.③若函数y=f(x)图像既关于点A(a，c) 成中心对称又关于直线x=b 成轴对称（a≠b），则y=f(x)是周期函数，且4|a－b|是其一个周期.

以下给出③的证明：

∵函数y=f(x)图像既关于点A(a,c)成中心对称，

∴f(x)+f(2a－x)=2c，用2b－x 代x 得：

f (2b－x)+f[2a－(2b－x)]=2c……（*）

又∵函数y=f(x)图像关于直线x=b成轴对称，

f(x)=2c－f[2(a－b)+x]……（**），

用2（a－b）+x 代x 得

f[2(a－b)+x]=2c－f[4(a－b)+x]代 入（**）得：

f(x)=f[4(a－b)+x]，

故y=f (x)是周期函数，且4|a－b|是其一个周期.

二、函数对称性应用举例

例：定义在R 上的非常数函数满足：f (10+x)为偶函数，且f(5－x)=f(5+x),则f (x)一定是（ ）

这需要单位把长期投资方案的现金进行流出，然后把相关建设投资各年所获得的现金流入，该方法主要是利用相同时点的数值来进行表示，最后则需要进行对比分析。对相关数据进行对比分析的目的是为了能够了解到方案的经济性，从而把各方案的投资利益都归纳到客观的基础上。

(A)是偶函数，也是周期函数

(B)是偶函数，但不是周期函数

(C)是奇函数，也是周期函数

(D)是奇函数，但不是周期函数

解：∵f(10+x)为偶函数，

∴f(10+x)=f (10－x).

∴f(x)有两条对称轴x=5 与x=10，

因此f (x)是以10 为其一个周期的周期函数，

∴x=0 即y 轴也是f(x)的对称轴，因此f(x)还是一个偶函数.

故选(A).