改进Kriging插值的地面沉降监控模型的研究

甄宗坤，蔡东健（苏州工业园区测绘地理信息有限公司，江苏苏州215000）

改进Kriging插值的地面沉降监控模型的研究

甄
宗坤，蔡东健
（苏州工业园区测绘地理信息有限公司，江苏苏州215000）

随着城市化进程的加快，地下水超采、高层建筑的兴建、建筑容积率和建筑密度的增加以及特殊的地质环境所引起的城市地面沉降日趋严峻。因此，建立一种通用性更强、效率更高的沉降监控模型是十分必要的。Kriging插值以其独特的建模机制 ，在区域空间插值中已得到广泛应用，而在时域插值中却鲜有研究，借鉴Kriging空间插值模型，研究其在时间域插值的应用具有重要意义。为保证时域模型数据的时间相关性 ，减少扰动信息累积，需删除早期数据；而为了保证变异函数能真实反映数据的时间分布特征，模型又需要足够的样本数据。为此，探讨了一种基于灰色理论的等维动态Kriging时域插值模型，采用等维动态预测 ，保证数据时间相关性，减少信息扰动；采用对建模数据量要求较少的灰理论模型来拟合变异函数曲线，解决样本不足的问题，并结合工程实例，验证了该算法的实用性、可靠性和有效性。

地面沉降；Kriging时域插值；灰色理论；等维动态

城市地面沉降是一种普遍而又日趋明显的地质现象。它是区域性地面高程下降的一种环境地质变化，是永久性不可补偿的环境和资源损失。它严重影响了沉降区的生态环境和基础设施，如:建筑物基础的不均匀沉降会引起墙壁倾斜、开裂，甚至倒塌；路基地面的下沉变形引起大量地裂缝；城镇排水系统的标高低于河水位，失去排水功能，甚至引起河水倒灌，形成内涝；沿海城市的防汛堤墙标高也因地面沉降相对与海平面降低，造成海水入侵，降低沿海城市的防汛能力等。因此，如何科学、准确、及时地获取地面沉降信息、分析和预测城市地面沉降的发展趋势，对一个城市的可持续发展显得尤为重要［1-2］。

在城市地面沉降监控系统中，为了掌握地面沉降的变化规律，一般采用以点代面的方法 ，通过对布设在沉降区的离散监测点进行多期观测，获取各监测点沉降信息，以描述该地区某时间段内的地面沉降变形状况。为了掌握其沉降变形的趋势，需要对各监测点沉降变形的时间增量特性进行准确地描述，为此，本文探讨了一种考虑数据随机性和结构性特征的等维动态Kriging时域插值模型［3-4］，以描述离散数据的时间增量特性 ，建立了相关模型，并进行了预报分析。模型建立的过程中，为了保证沉降信息的时间相关性不会随着时间的推移逐渐减弱，同时减少扰动信息的累积，本文选择了等维动态预测的方法，也即滚动预测；而为了真实地反映沉降数据的时间分布特征，保证变异函数中参数有意义，选择对建模数据量要求较少的灰色理论模型来拟合变异函数曲线，解决时域插值中分组变异函数值序列数据不足的问题，提高了变异函数曲线的拟合精度。结合工程实例，验证改进算法的实用性、可靠性和有效性。

1 Kriging时域插值法原理

Kriging时域插值是根据预测时刻有限邻域内的若干已知参考时刻的实测值，在考虑了参考时刻监测点的姿态，与参考时刻的时间相关性，以及变异函数提供的结构信息之后，对预测时间节点进行的一种线性无偏最优估计。

对比于Kriging空间局域插值［5-7］，Kriging时域插值的假设条件变化为［8-10］:

（1）正态分布

在Kriging方法中，假设大量样本是服从正态分布的，然而，沉降监测的时间序列数据往往是偏态的，不符合正态分布的假设，需要对数据进行变换。本文首先使用多项式拟合参考时刻的实测值作为其真值的近似值，并将其与实测值作差，然后对差值作BOX-COX转换，形成符合正态分布的数据序列。

（2）平稳性假设

二阶平稳是假设具有相同的时间间隔的任意两时刻的协方差是相同的，协方差只与这两时刻的值相关而与它们的时间无关；内蕴平稳假设是指具有相同时间间隔的任意两时刻的方差（即变异函数）是相同的。

Kriging时域插值的基本数学模型为:

式中:Z*（X0）是预测时刻的估计值；Z（Xi）是参与预测的参考时刻的实测值；λi为Kriging权系数，它是在无偏性和最小方差性条件下，依赖于变异函数确定的。

①无偏性条件

假定随机函数 Z（X）的期望是平稳的，Z*（X0）是 Z（X）的无偏估计量，在二阶平稳及内蕴假设下，得到无偏条件:

②最小方差条件在满足无偏条件的前提下，使方差达到最小，即

按方差最小原则求解Kriging权系数，并联同无偏条件，得到正规方程组:

将γ（i，j）、¯γ（i，p）简写成 γij、¯γip，并将上式展开成矩阵形式:

式中:γij为参考时刻中第i到第j时刻时间间隔对应的变异函数值；¯γip为参考时刻中第i时刻到预测时刻的变异函数值；λ为Kriging权系数；μ为拉格朗日乘数。

即

2 基于灰色理论的Kriging时域插值模型

针对于一组沉降监测的时间序列数据，利用Kriging时域插值法预测下一期的估计值，理论上是可行的。然而在Kriging插值中要求样本必须服从正态分布，对于不符合正态分布的数据序列 ，要对数据进行转化 ，形成符合正态分布的数据序列［11-12］。另外，为了保证沉降信息的时间相关性不会随着时间的推移逐渐减弱，同时减少扰动信息的累积，实验中选择使用等维动态预测的方法；而为了真实地反映沉降数据的时间分布特征，保证变异函数中参数有意义 ，需解决时域插值中分组变异函数值序列数据不足的问题，实验中选择使用对建模数据量要求较少的灰理论模型［13-15］来拟合变异函数曲线，有效地提高了变异函数曲线的拟合精度。为此，本文提出了基于灰色理论的等维动态Kriging时域插值模型，其具体实现过程如图1所示。

图1 基于灰色理论的等维动态Kriging时域插值模型

3 应用实例

为了检验Kriging时域插值的预测效果，本文做了大量的实验，研究了Kriging时域插值法在工程应用中的一些实际问题，通过对比实验结果，提出了一个相对可靠的解决思路。实验中以某地区沉降监测的实测数据为例进行分析。

实验中选择该测区某监测点的20期监测数据作为本次测试的源数据，其中早期的16期数据作为样本进行学习，其余4期作为等维预测的检核数据。首先分别选择参考时刻序列中最近5期、8期、11期、13期数据作为维数尺度，由于各期采样的时间间隔比较均匀，故将 T设为相邻两时间点的最短时间间隔，根据变异函数计算公式获取各时间间隔下的变异函数序列，采用灰色模型对其进行拟合，并利用指数模型绘出变异函数曲线，以维数尺度为8期的变异函数曲线为例，结果如图2所示。根据各维数尺度下变异函数曲线计算出一定时域范围内的任意γt，建立参考矩阵与预测矩阵 K和M，计算Kriging权系数，进而计算预测结果，并将结果与传统的插值预测模型三次样条和多项式插值进行比较 ，结果见表1和图3、图4，残差值结果见图5所示。另外在学习、预测、再学习、再预测…的过程中，需要根据新学习的知识，计算其与上一期预测值的差值，并与阈值进行比较，若大于阈值，即选择新数据进行下一期预测，否则，继续采用上一期预测值进行下一期预测。

图2 维数尺度为8期的变异函数曲线

表1 不同维数尺度Kriging、3次样条曲线、多项式插值结果　　单位:mm

图3 不同维数尺度下的Kriging插值结果图

图4 Kriging、3次样条曲线、多项式插值效果图

图5 不同维数尺度Kriging、3次样条曲线、多项式插值残差图

图2为维数尺度为8期时的变异函数曲线，采用指数变异函数模型对其进行拟合的结果。另外，由表1、图3和图4可以看出，Kriging法在时域插值可以获得较好的预测效果，然而其对数据结构特征学习程度及对时间相关性的依赖，使得在使用Kriging时域插值之前必须选择好合适的维数尺度 ，以本实验为例，当维数尺度为5期时，由于期对数据结构特征学习不够，其插值精度近似于线性拟合；当维数尺度为11期和13期时，由于采用等维动态学习的模式，在拐点处极易把拐点数据当成异常值处理，导致学习失败，另外，随着维数尺度的增加，各期数据的时间相关性也会减弱，从而导致插值结果也不理想；当维数尺度选为8期时，在模型中拐点信息与趋势信息都具有较高的比重 ，另外，各期数据的时间相关性也较佳，故最终取得了较好的插值效果；传统的3次样条曲线和多项式插值在时间的延续性上比较差，只能用于12期的预测。如图5所示，残差图上也可以较直观地看出维数尺度为8期的Kriging时域插值具有较好的预测精度。

4 结 论

（1）结合Kriging区域空间插值，探讨了其在时域插值的应用，根据工程实例，分析研究了不同维数尺度下模型的预测精度 ，并将预测的结果与传统的三次样条插值和多项式插值预测相比较，表明Kriging时域插值在合适维数尺度下具有较高的预测精度 。

（2）为解决源数据非正态的问题，引入了BOX -COX转换，形成符合正态分布的数据序列。

（3）基于灰色理论的等维动态Kriging时域插值模型的研究，保证了变形信息的时间相关性不会随着时间的推移逐渐减弱，减少扰动信息的累积，同时也保证了变异函数能真实地反映沉降数据的时间分布特征，有助于时域插值中分组变异函数值序列数据不足问题的解决 ，并为实现城市地面沉降的实时监控与预测提供了技术支持。

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Application of Improved Kriging Time Interpolation in Land Subsidence Monitoring

ZHEN Zong-kun，CAI Dong-jian
（Suzhou Industrial Park Surveying，Mapping and Geoinformation Co.，Ltd.，Suzhou，Jiangsu 215000，China）

With the acceleration of urbanization，the urban land subsidence are becoming more serious each day due to the over exploitation of groundwater，the construction of the high-rise buildings，the increase of building volume ratio and density，as well as the specific geological conditions.So it is necessary to establish a subsidence monitoring model which is more universal and efficient.Kriging has been widely used in regional spatial interpolation with its unique modeling mechanism，but so far the time domain interpolation hasn’t been researched.Therefore it is of great significance to study the application of the time domain interpolation combining Kriging spatial interpolation.On one hand，in order to ensure the time correlation of data in time-domain model and reduce the disturbance information accumulation，the early data should be deleted；on the other hand，in order to make sure that the variation function will reflect the characteristics of time distribution，sufficient samples are required.To this end，a dynamic Kriging time-domain interpolation model based on grey theory was established，which designed with dynamic forecast of equal dimension to ensure the time correlation of data and reduce the disturbance information accumulation.Furthermore，the curve of variation function was fitted by using the gray theory model which required less modeling data quantity to solve the problem of insufficient samples.This algorithm is proved practicable，reliable and efficient in the application to the actual engineering case of this study.

land subsidence；Kriging time-domain interpolation model；grey theory；dynamic equal dimension

TU433

A

1672—1144（2015）02—0177—04

10.3969/j.issn.1672-1144.2015.02.037

2014-12-17

2015-01-20

甄宗坤（1987—），男，江苏徐州人，硕士 ，主要从事数字城市的研究工作。E-mail:zhenzongkun@126.com