铁路建设工程进度计划优化模型研究

钟雁，董胜英，刘仍奎，张玲

（北京交通大学城市交通复杂系统理论与技术教育部重点实验室，高速铁路网络管理教育部工程研究中心，北京100044）

铁路建设工程进度计划优化模型研究

钟雁*，董胜英，刘仍奎，张玲

（北京交通大学城市交通复杂系统理论与技术教育部重点实验室，高速铁路网络管理教育部工程研究中心，北京100044）

为了解决铁路建设工程资源不均衡的问题，避免出现劳动力窝工或机械设备闲置的现象，本文以资源均衡为目标，以线性规划方法确定建设工程中的关键路线，构建了适合于我国铁路建设工程的进度计划优化模型，并进行了施工速度差的求解.采用朔黄铁路建设工程的实际数据，对该模型的有效性进行了验证.结果表明，该模型大大降低了实际施工进度计划的资源计划偏差值和资源占用的峰值.因此，该模型对于解决我国铁路建设工程中的资源不均衡问题具有显著效果，对于提高我国铁路建设工程进度计划的科学合理性具有较好的理论和实际应用价值.

铁路运输；铁路建设工程；线性规划方法；进度计划；资源均衡；优化模型

1 引言

我国铁路发展进入了一个大规模的建设阶段，为保证工程质量和效益，要求我们必须对其进行科学合理的管理.铁路施工组织设计中将施工进度计划作为铁路建设项目管理的核心部分[1]，在进度计划的优化问题中，通过对资源的有效控制，可以显著地降低资源管理成本.铁路建设工程是在水平方向上具有连续施工特点的线性工程.然而，我国铁路建设工程进度计划管理所采用的网络计划方法，在处理线性工程的进度计划上不仅破坏了施工活动连续的特点，而且在关键路径确定的问题上也不够准确[2].进度计划在编制过程中与资源配置计划不同时进行，资源配置计划落后于进度计划，因此，难以实现资源均衡配置，甚至会导致资源供应不足等问题.资源消耗的不均衡导致劳动力的窝工、机械设备的闲置或临时设施的增加，从而影响施工管理的经济效果[3,4].因此本文针对这两个问题，采用线性规划方法，解决我国铁路建设工程资源不均衡的问题.

2 线性规划方法

线性规划图采用一个直角坐标系来描述工程项目的施工进度计划.其中水平轴表示工程项目的施工空间位置，以距离为衡量单位，用x表示.垂直轴表示工程的时间进展情况，其衡量单位可以根据整个工程的工期和管理所需要的精细水平以小时、天、周、甚至是月等来衡量[5]，用y表示；如图1所示.

图1 线性规划图Fig.1 The linear plan diagram

线性规划方法中关键线路的确定分为三步，以图1为例进行说明.

第一步：通过活动的时间参数，以及活动之间的时间和距离约束关系绘制出初始的线性进度计划图，在不违反活动之间时间和距离约束的情况下使相邻活动尽可能地紧挨着，如图1所示的进度计划包括A、B、C三个活动.

第二步：确定初始进度计划的关键序列.首先按照活动结束时间先后顺序进行排列，结束时间最晚的活动属于关键序列中的活动，如图1中的活动C属于关键序列中最后一个活动；然后寻找活动C的承前活动为活动B，那么活动B也属于关键序列，以此类推直到寻找到第一个活动为止，该过程确定了线性规划中的最长路线，得到图1的关键序列包含A、B、C三个活动.

第三步：确定线性规划中活动的关键部分.确定规则如下：

（1）确定关键序列中每个活动与其承前活动和后序活动之间的时间或者距离约束发生的位置点（简称约束点）.

（2）如果某活动与其后序活动之间的约束点在该活动与其承前活动之间的约束点右侧，那么该活动在两个约束点之间的部分则为关键部分.

（3）如果某活动与其后序活动之间的约束点在该活动与其承前活动之间的约束点左侧，那么该活动不包含关键部分.

以图1为例，活动C没有后续活动，那么默认活动C与其后续活动的约束发生在最右边，与其承前活动B的约束点在a点，根据规则，a点与b点之间的部分为活动C的关键部分.同理，c点和d点之间的部分也是关键部分，即活动B全部为关键，那么该进度计划的关键部分为活动C的ab之间的部分和活动B的全部，如图1中加粗部分.

在线性计划方法中，施工速度差定义为某活动在不影响相邻两活动之间的最小时间与距离约束，以及最大时间与距离约束的情况下，该活动的最小可能施工速度与计划施工速度之间的差值[6].关于施工速度差的计算问题已经在文献[6]中进行了说明.

3 基于线性规划方法的资源优化模型构建

3.1 构建思想

工程项目进度规划的优化是指在满足一切必要和合理约束条件的情况下，通过合理地安排工程中活动的起始时间和资源分配情况来达到满意的工期、较低的费用或者资源均衡等目标[7].对于工期固定的建设项目，以资源均衡为目标，一方面可以减少资源消耗大起大落等不均衡现象，保障工程物资供应的有效性；另一方面可以避免人员和设备的闲置，减小施工现场各种临时设施的规模，降低施工成本.

3.2 模型构建

3.2.1 假设条件

以铁路建设工程资源均衡为目标，构建针对我国铁路建设工程的进度计划优化模型，使得施工过程中资源的使用更加均衡，构建模型的假设条件：

（1）假设工程的总工期固定不变；

（2）在线性规划中，线性活动在某一天的可行施工方案仅有一种；

（3）对非关键活动施工方案进行调整优化，假设线性规划中的关键活动的起始时间和施工速率保持不变.

3.2.2 常量、变量及中间变量

由于本模型只针对非关键活动施工方案进行优化，因此在求解过程中，非关键活动的施工方案是本模型的唯一变量，即

Wjk——非关键活动j是否采取方案k.

由假设三可知关键活动的资源需求量在求解过程中不改变，因此本模型的常量为

Crdi——关键活动i在第d天的资源需求量.

由于施工方案的选择在是在一定的范围内的，且受到活动资源量为整数的限制，因此任意非关键活动方案数是确定的，进而导致非关键活动在不同方案下的资源量也是确定的.但是由假设二可知，非关键活动在某一天的可行施工方案仅有一种，因此非关键活动在某天的资源需求量仅有一种选择.非关键活动的资源需求量受到施工方案的影响，成为本模型十分重要的中间变量，即

Ncrdj——非关键活动j在第d天的资源需求量.

3.2.3 约束条件

此约束条件为项目进度计划及资源分配问题优化研究领域普遍采用的约束条件，即每一天的资源需求量等于该天所有关键活动资源需求量与所有非关键活动资源需求量之和[8].而本模型是在线性规划方法下构建的，因此受到线性规划方法的影响，在求解关键线路，以及施工速率差之后，非关键活动可能会存在多种施工方案.由于本文假设线性活动在某一天的可行施工方案仅有一种，因此对于非关键活动，必须全面考虑各种施工方案的可能性，由此得到本模型的两个约束条件，即

式中Rd——第d天所有活动资源需求量之和；

Ncrdik——非关键活动i在第d天选择第k种施工方案的资源需求量，i=1,2,…,n，n为第d天进行的非关键活动的总数，个，k=1,2,…,h，h为非关键活动i的可选施工方案总数，个；

Crdj——关键活动j在第d天的资源需求量，j=1,2,…,m，m为第d天进行的关键活动的总数，个.

另外，考虑到所有资源量为整数的限制，给出本模型第三个约束条件，即

3.2.4 目标设定

资源均衡是指资源使用计划的绝对偏差值的最小值.资源使用计划的绝对偏差值是指从工程第一天开始到工程结束那一天为止的所有相邻两天内的资源需求量差值绝对值的总和，因此，本模型的目标函数采用了本领域普遍使用的一个目标函数，由参考文献[3]给出.

式中Z——最小偏差值，人；

D——工程总工期，天.

至此，得到基于线性计划方法的资源优化模型为

3.2.5 模型求解

本模型为非线性整数规划模型，由于非线性函数的复杂性，求解非线性规划问题要比求解线性规划问题困难得多.对于非线性整数规划模型，需要选取合适的优化软件来进行求解，这样能够降低工作量，求解效率也比较高.基于该种考虑，针对本文优化模型的特点，本文以LINGO11.0为平台，编写相关求解程序，对本文的优化模型进行求解.

LINGO（LinearInteractiveandGeneral Optimizer）即“交互式的线性和通用优化求解器”，由美国芝加哥大学于1980年开发，专门用于求解线性规划，非线性规划和二次规划优化问题.对于非线性规划模型，LINGO的可选非求解器使用的最主要的优先技术是基于一般化缩减梯度(Generalized Reduced Gradient，GRG)算法，即广义简约梯度算法.该算法是简约梯度算法在解决非线性问题上的推广，通过消去变量达到降低维数的目的，从而加快了算法的收敛速度[9],是目前求解约束非线性最优化问题最有效的方法之一[10,11].对于带有通用或二元整数限制的模型，则采用分支定界法进行求解，在求解非线性整数规划模型时，以非线性求解器为主，整数求解器配合非线性求解器一起工作，从而大大减少对于大分类的整数模型的求解次数[12].

归纳LINGO软件求解步骤，总结如下：

（1）明确变量，约束及目标函数，建立数学模型.模型的一般表达形式为

（2）编写LINGO程序.LINGO程序语言基本与数学模型表达式相同，格式如下：

Model：

Max（Min）=f（x）；

g（x）≤0；

h（x）≥0；

k（x）=0；

End

（3）选择LINGO界面中的选项（Options）命令，打开选项卡界面，选择其中的Global Solver（全局最优求解器）命令，对模型进行全局最优解运算.

（4）选择保存（Save）命令保存程序，然后选择执行（Solve）命令，软件就会通过LINGO预处理过程自动选择程序对模型求解，求解步骤如图2所示.

图2 LINGO求解步骤流程图Fig.2 LINGO solve step flow diagram

本模型已经建立，只需转化成LINGO认可的语言，按照以上步骤求解即可.

4 实例验证

现采用朔黄铁路线古月站至小觉站路基工程（DK45+750～DK52+750）实际数据对模型进行验证.根据朔黄铁路线施工组织设计可知工程相关信息如下：线路自古月站引出，至终点小觉站，线路全长11.8 km，起讫里程为DK1+000～DK11+800.其中DK45+750～DK52+750段路基工程全长7 km，总工期限定为69天，工程活动划分及属性数据如表1所示.

表1 朔黄铁路线路基工程概述Table 1The subgrade project overview of Shuohuang railway

4.1 数据分析

4.1.1 工程项目实际进度计划

这里的工程实际进度计划是在工程实际施工时，现场工程师根据工程活动之间的相互约束关系，在其工作经验的基础上编制出来的，表2是该计划中活动的相关数据.在线性计划方法的基础上，依据表2中的数据绘制实际施工进度图，如图3所示.

表2 实际施工计划Table 2The actual schedule plan

图3 实际施工进度图Fig.3 The actual schedule diagram

根据表2中的数据，计算上文所建模型中式（5）的目标函数值.由此可得出该实际进度计划所对应的资源使用计划，如图4所示，求得所建模型的目标函数值为145人.

图4 实际施工资源计划图Fig.4 The actual resource planning diagram

4.1.2 关键线路与施工速率求解

利用1.2节的方法求解实际施工进度计划的关键线路，得到的关键部分包括一般路堤填筑的全部活动、路基附属工程的全部活动，以及基床表层填筑的前一部分活动，见图5中加粗部分.在保证不违反活动之间的时间和距离约束的情况下，按照1.3节提出的求解方法，分别求解每一个非关键部分的施工速率差，并在此基础上确定非关键活动的可行施工范围，具体速率差和范围如图6所示.

图5 实际施工计划关键线路图Fig.5 The critical path of actual schedule

图6 实际施工计划Float求解Fig.6 The Float diagram of actual schedule

4.1.3 施工方案的确定

本文规定活动资源量不同施工方案即为不同；同一活动资源量相同，开始时间不同，施工方案即为不同.由此，经计算可知，该路基工程各活动施工方案组合共有3 312个.为了简化运算，采用每个活动随机选取三种可行施工方案的方法对模型进行验证，根据活动参数以及工程实际情况，计算该实际进度计划非关键活动的可行施工方案，如下所示.

（1）原地面清表：单位资源速率V1=7 000/(8×5)=175，根据活动资源量为整数的限制，确定其可行施工方案，如表3所示.

表3 原地面清表可行施工方案Table 3The feasible construction plan of ground clear

（2）基床底层填筑：单位资源速率V2=7 000/(14×20)=25，根据活动资源量为整数的限制，确定其可行施工方案，如表4所示.

表4 基床底层填筑可行施工方案Table 4The feasible construction plan of sub-base filling

（3）基床表层填筑：单位资源速率V3=7 000/(20×20)=17.5，根据活动资源量为整数的限制，确定其可行施工方案，如表5所示.

表5 基床底层填筑可行施工方案Table 5The feasible construction plan of subgrade filling

将非关键活动可行方案分别绘制在线性规划图上，如图7所示.

图8 优化后的进度计划图Fig.8 The optimized schedule diagram

4.2 基于资源均衡的进度计划求解

优化问题的求解是一个在主客观因素的约束下，使得某个或多个目标达到最大化或最小化的决策问题.根据上述计算得出的非关键活动的可行施工方案，构建该实际进度计划的资源均衡优化模型，由于本案例施工工期为69天，按照本模型得到69个约束条件，采用LINGO软件求解，结果如表6所示，图8为根据表6绘制的线性计划图，优化后的资源计划如图9所示.

图7 非关键活动可行施工方案图Fig.7 The feasible construction plan of non-critical activity

图9 优化后资源计划直方图Fig.9 The optimized resource planning histogram

表6 优化后的进度计划Table 6The optimized schedule

4.3 结果分析

以往关于工期固定资源均衡优化问题的参考指标均为资源占用峰值和资源计划偏差值[13]，因此本文也采用这两个指标对求解结果进行对比说明，得到以下结果.

（1）在工期保持不变的情况下，目标函数值即资源计划偏差值由原来的145人降低到67人，优化结果非常明显.

（2）附加指标资源占用峰值由实际进度计划中的60人降低到了45人，可见该模型优化结果明显.

根据求解结果，对优化后的施工计划进行对比分析，如表7所示.采用折线图的方式对优化前后资源进行对比，如图10所示，可以看出达到了明显的优化效果.

表7 实际施工计划与优化后计划的结果比较Table 7The comparison of actual schedule and optimized schedule

图10 资源优化前后对比图Fig.10 The before and after contrast figure of resource optimization

5 研究结论

本文利用线性规划方法，结合我国铁路建设工程的实际特点，构建了以资源均衡为目标的工程进度计划优化模型，并以朔黄铁路线古月站至小觉站路基工程的实际数据对模型进行了验证.结果表明，本文所提出的模型在保证施工活动连续的前提下，有效地解决了我国铁路建设工程中的资源不均衡问题，对于提高我国铁路建设工程进度计划的科学合理性具有较好的理论和实际应用价值.

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Optimization Model of Railway Construction Project Schedule

ZHONG Yan，DONG Sheng-ying，LIU Reng-kui，ZHANG Ling
（Engineering Research Center of Network Management Technology for High Speed Railway MOE,MOE Key Laboratory for Urban Transportation Complex Systems Theory and Technology,Beijing Jiaotong University,Beijing 100044,China）

In order to solve railway construction project resource imbalance problem and avoid labor slowdown or mechanical equipment idle occurrence,this paper aims at the resource leveling.The linear scheduling method is used to determine the critical path in a construction project.The optimized model of progress schedule suitable for Chinese railway construction project is built,and the difference of construction speed is solved.Using the actual data of ShuoHuang railway construction engineering,the validity of the model is verified.The results show that this model greatly reduces resource planning deviations value and the peak occupied resource value of actual construction schedule.Thus,this model has obviously effects on solving resource imbalance problem in Chinese railway construction project and has important theoretical and practical application values for improving scientific rationality of schedule in Chinese railway construction project.

railway transportation;railway construction project;linear scheduling method;schedule; resource leveling;optimized model

1009-6744（2015）05-0186-09

TU722

A

2015-02-11

2015-06-17录用日期：2015-07-06

中国铁路总公司科技计划重大课题（2013X009-A-1）.

钟雁（1959-），男，广东梅州市，教授，硕士. ＊

yzhong@bjtu.edu.cn