如何从集合论观点看待数学教学

韩桂玲 （宣化科技职业学院 075000）

集合论在数学中有独特的地位，它的基本概念已渗透到数学的所有领域，如各种数学理论是建立在集合论的基础上的，（实数理论是奠定在集合论的基础上），各种复杂的数学概念（比如自然数、实数、函数等）都是借助集合定义出来，从这个意义上来讲，集合论可以说是现代数学的基础。

一、集合论的概念与数学教学中集合概念的关系

1874年，康托尔越过“数集”的限制，开始提出“集合”的概念。他对“集合”给出了这样的定义：把若干确定的有区别的（具体的或抽象的）事物合并起来，看作一个整体，就称为一个集合，其中各事物称为该集合的元素，也说它属于该集合，有了集合概念，就可以定义出一系列有关的概念，集合论就产生了。具体定义：一般情况下，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，简称集，集合中每个对象叫做这个集合的元素。这句话，只是对集合概念的描述性说明，但集合是集合论中的原始概念，是学习、掌握和使用数学语言的基础。从数集、几何中的点集，到函数的概念与性质等，这些知识就离不开集合，更离不开集合论。也就是说，集合论为基础数学集合提供了理论基础，而基础数学中的集合是集合论在一定范畴内的细化。

集合论是现代高等数学的基础，数学中每个对象本质上都是集合。有人说：“数学能嵌套在集合论中”——其含义就是指数学的一些对象如数、函数、线、面等都可以用集合来定义。换句话说，数学的各个分支在本质上都是研究这种或那种对象的集合。集合论把无穷集合理论运用到了其他学科上，如整系数代数多项式的全体是一个可数集。又如，几何学——研究点、线、面的集合；数学分析——研究连续函数的集合；代数学——研究数的集合以及在此集合上定义有关运算的集合等。因此，把集合论作为高等数学的基础是也是有道理的。

二、集合论的语言与数学的基本关系

集合论语言是一项数学语言，借助于集合论语言，教师可以将基础数学中的一些基本关系阐述得很清楚，如借助字母符号表式集合与元素，及其逻辑关系，其中大写字母常常用来表示集合，小写字母表示元素。

（一）数集

常用的数集：非负整数集（自然数）、正整数集、整数集、有理数集、实数集。在这些基本的数集中，相互之间有的是序关系，有的是等价关系，有的是集合与集合的隶属关系，即包含与真包含关系。

（二）几何的点集

几何中的点集为一维点集，即数轴上的点，进入二维点集的学习即平面点集，它的元素是有序数对。由点集为基础建立了几何的一系列的概念系统，由点到线、面的概念。集合论语言用简练易懂的文字阐述了点与线、点与面、线与面、线与线、面与面的关系。具体来说，直线集内存在着线线平行和线线垂直的关系，平面集内存在着面面平行和面面垂直的关系，向量集内存在着向量的共线关系；圆集内存在着圆与圆的相切、相交、相离、同心的关系；球集内存在着球与球的同心关系。

（三）点集、数集、函数集之间建立的映射关系

1.数集到其自身的函数，即数值自变量的数值函数，这是中学数学研究的主要函数类型，如所有初等函数。

2.数集到点集、点集到数集的映射。如实数和数轴上的点、有序实数对与坐标平面上的点、三元有序实数组与坐标空间的点、复数与复平面上的点都存在一一对应关系。

3.点集到其自身的映集，如通过几何变换（比如平移变换、旋转变换、位似等）。

4.几何图形集与数集之间的映射，如测算图形的长度、面积、体积等几何量的度量。

5.作函数图形，即将序对集在坐标平面（空间）上表示出来，完成了序对集到函数曲线的点集上的映射。

此外，还有函数集到其自身的映射，如求导数，求不定积分；函数集到数集的映射，如求定积分。

三、集合论的思想方法与数学教学

集合论的思想方法贯穿于整个数学教学中，无论是讲述概念还是解决某些问题，集合论的思想使数学概念的定义与问题的解决变得简单和直观。

其一，基础数学中线段的垂直平分线，到两个定点（线段的两个端点的）的距离相等的点的集合；圆可以看作是到定点（圆心）的距离等于定长（圆的半径）的点的集合；角的平分线可看作到角的两边的距离相等的点的集合。虽然在基础数学初期阶段还没有给出集合的定义，但是学生已经接触到集合思想的运用，集合论思想解释了这些几何概念的本质。

其二，解决函数定义域问题。定义域的解是由解析式有意义的几个条件决定的，每一个条件又是一定元素的集合，它们的交集元素就是定义域的解，函数定义域的求解一般会用求交集的思想来求解。另外，求函数的单调区间也是运用了这个思想。

其三，概率论中的概念及解决方法。集合论观点也可以解释概率论中的概念与事件之间的关系，其实质是利用集合论的基本数学思想，来分析基本事件，并用集合论语言描述事件之间的关系，用集合论方法分析事件之间的运算。而有些需要分类讨论的问题，解题过程往往过于繁杂，运用补集的思想（即“正难则反”思想）去解答，常常可以简化讨论。

其四，在微积分学中，通过集合论中与数形结合研究极限、函数的概念与性质，使用直观形象的函数图像来帮助学生加深对概念的理解，使他们明白概念蕴含的真正意义，并能容易区分出相似概念之间的细微差别，此外，集合论在拓扑学、图论等学科上也有广泛应用。

集合论已经成为现代数学中的重要基础，它与数学教材中的很多的基础概念，基础思想与方法有着重要的联系，集合论所思想，使得数学问题变得简单直观易懂，很自然地延伸出分类思想和数形结合思想，使得代数学与几何学有机地结合，使概率学等知识变得系统易懂。

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