高中数学解题中导数的应用价值

崔振明

摘要：导数在高数解题过程中的运用，最基本的作用是将解题过程变得简单高效，将复杂的高数问题简单化，为学生下一阶段的數学学习做一个优质的铺垫。导数在数学教学中的引入，加深了学生对函数的理解，激发了学生的创新思维，同时引导学生将导数解题的方式运用到实际生活中去，并且对激发学生学习数学的积极性有一定的作用；所以导数是数学教学中有利的辅助工具，注重引导学生用导数进行解题，并且能熟练掌握、灵活运用成为数学教学的教学目标之一。

关键词：数学解题；价值分析

一、高中数学解题中的导数应用技巧

在高数的教学中，从教师的角度来说，熟悉导数的定义是学习导数的基础，教师可以根据学生的学习进度适当调整导数章节的教学进度，如果基础知识没有掌握牢固，越往后知识越复杂就更不利于学生的理解和接受。在了解导数定义的基础上，逐渐引入函数四则运算法则，将复杂的知识简单化，用逐渐带入的方式引导学生学习，打下一个坚实的导数学习基础；学生要结合导数知识，将函数的极值判定和函数单调性要作为重要的知识点进行学习。

其实导数也不是很复杂难学的知识，只要将公式、法则、性质牢记于心，多做练习，自然就能熟练应用；运用导数求极值一般有固定的解题步骤：首先求出f′（x）的根值，根据所得数值，确定根两侧的函数单调性，再根据单调性呈现出来的递增或递减状态，得到相应的最大值或最小值；如果两侧单调性相同，则说明此根处没有相应的极值。

例如用导数求函数的极值：求函数f（x）=-x3+3x2+9x在单调区间[1，5]上的最大值；

解：函数f（x）的导数为f′（x）=-3x2+6x+9，所以在区间（-1，3）上是单调递增的，即f′（x）﹥0，在区间（-∞，-1），（3，+∞）上是单调递减的；对于区间[1，5]在[1，3]的范围内f′（x）﹥0，即是递增，在[3，5]范围内f′（x）<0即为递减，所以根据极值的定义可得出，在x=3处取得最大值，即f（3）=63。

这类题目在高数中是常见的基础题型，在某一区间内求取极值的问题，根据导数的定义，在区间内如果两侧符号不同，那就说明这个区间存在极值，以此为根据，有清晰的解题思路，就能快速地解出答案。

导数在几何解题的应用也可以有效的提高解题效率；比如常见的给出某M点坐标和曲线C方程，求出最终的切线方程，解题步骤基本上也是有固定的逻辑：首先确定M点是否在相应的曲线C上，另外要求得相应的导数f′（x）；根据题目的实际情况会得出不一样的数值，然后结合导数知识根据具体的情况运用相应的方程公式：如果点在曲线上，那么需要用的方程为y-y0=f′（x0）（x-x0）；如果点不在曲线上，那么需要用到的方程为y1=f（x1），y0-y1=f′（x1）（x0-x1），以此为根据，得出具体的x1的值，这样就能求得切线方程。

根据以上的解题实例可以看出，导数的运用不仅是代数，在几何题目的解答步骤上都能使解题变得更高效简单。学生在导数知识章节的学习中，对于导数的公式和两个函数之间的四种求导法则，可以不用加以过多的证明，但一定要将公式和法则熟记于心，在遇到难题时，能够正确使用相应的步骤和法则。学生在导数知识的学习过程中，也要注意适时的进行总结，对知识有一个连贯性的结构；注重知识的全面运用，可以提升学生自身的综合学习能力。

二、高中数学解题中导数应用注意事项

在高中数学导数部分的教学过程中有一定的注意事项，首要要把握一定的教学要求，抓住教学的重点和难点，根据学生们的实际学习情况和接受进度进行相应的教学计划调整，因为高数这门课程的思维连贯性，一旦某一部分没有熟练掌握或者学习的不够踏实，对接下来的学习会有很不好的影响，尤其在导数部分的学习，如果一开始的基础知识没有得到掌握，那么对这部分知识越往后就越难以消化。

要让学生对导数的含义有一个很明确的了解，学习之初，对概念的认识也是很重要的学习内容，然后是对导数的各种性质的了解，因为导数在高数中起着很重要的作用，在很多题型中都可以用得到，而运用在解题中的时候，大都是依据导数的各种性质进行的，所以要求学生在熟悉导数的概念以后，对导数的性质也要牢记于心方能熟练运用。利用导数求得函数的单调性、极值、不等式和几何方程等，可以有效地提高解题的效率和质量，从中考察学生对知识的掌握程度以及思维整合的能力。另外一点在运用导数求解的过程中，引导学生避免解题思路复杂化，全面考虑导数的各种性质找出最适合题目应用的，尽可能将其简单化；在复合函数的学习过程中，要对将其计算法则进行重点学习，并做到熟练运用的程度，教师在复合函数练习题的难易程度要做好把控，考虑整体学生的学习情况进行安排布置，或者根据不同学习层次的学生，拿出多个具有针对性的练习方案，能更有效地帮助学生巩固导数知识。

三、结语

教师在在导数的教学过程中，将理论知识形象化，结合一定的图片表格，让学生能更直观的感受到导数的各性质之间的区别，同时也要注意引导学生将数学知识生活化，这样也能更好地提高学生导数学习的效率。