小球在液体中下落的探讨

李天涯

摘 要：自由落体运动是中学物理必不可少的重要内容，大多数学生对伽利略的比萨斜塔实验耳熟能详，大家都知道在地球表面附近空气中自由落体运动的计算公式，即重力加速度为一个常数的计算公式。如果小球不是在空气中，而是在液体中做落体运动，我们还能用在空气中的自由落体运动计算公式吗？本文着重解析小球在液体中竖直下落的计算，以资为中学物理教师作教学参考。

关键词：自由落体运动；小球；液体；探讨

中图分类号：G633.7 文献标识码：A 文章编号：1003-6148（2015）7-0040-2

所谓自由落体运动，是指除了受到重力作用外，不受其他外力（或其他外力的合力为零）作用并且初速度为零的匀加速直线运动。在地球表面附近，我们近似认为在空气中重力加速度g为一个常数，空气阻力及浮力等外力可以忽略的情况下，球体自由落体运动的计算公式为

v=gth= gt2

这是《普通高中课程标准实验教科书物理（必修1）（人民教育出版社）》中第二章第5节关于自由落体运动的内容，也是学生高考必考的内容，所以学生在遇到类似的问题时，便不假思索的运用此计算公式。

作为中学物理知识的延伸，在大学一年级开设的基础物理中，这部分内容做了进一步的拓展，即在液体中，加速度不为常量的情况下，我们该如何解决物体下落问题。笔者在大学一年级的基础物理教学过程中发现学生极易出现混淆定理成立的前提，因此先提出一个学生在应用此定理容易出错的示例，以示例为基础，着重讲解该部分内容的内涵、外延，常量以及变量计算，以期学生在以后的应用中不出现类似的错误，同时避免形成定式思维。本文亦可以作为中学物理教师教学参考资料。

题目 有一个小球在某液体中竖直下落，其初速度v0=10 m/s，它在液体中的加速度为a=-v m/s2，分别写出小球下落速度及下落高度的表达式。

在解决这个问题前，笔者让全班同学先自己解答一下这个题目，从同学们的解答结果来看，全班几乎没有做对的。绝大多数同学在看到这个问题后，马上就用落体运动的公式来写出表达式，甚至有些同学完全没有用到题目给出的加速度，而是直接应用重力加速度g。由于题目给出了初速度v0，所以大多数同学都用了初速度为v0=10 m/s的竖直下落公式，因此在课堂上见到的学生给出较为常见的表达式是：

v=10+gth=10t+ gt2

有部分同学看到题目中下落加速度a=-v m/s2，因此把g改写成a，所以得出竖直下落计算式为：

v=10+gth=10t- vt2

本题的条件与自由落体运动，或者在空气中的竖直下落运动相比不同的是在液体中，液体的密度比空气的密度大得多，其阻力、浮力等其他外力是不能忽略的。题目中已经给出了一个变加速度a，设任意时刻t下降的高度为y，因此正确的解法是：

∵a= =-v，

∴ 分离变量得出： =-dt。

两端同时积分 =- dt，

解得：v=v0e-t。

又∵v= =v0e-t，又分离变量得出：dy=v0e-tdt，

两端同时再次积分 dy= v0e-tdt，

解得：y=10（1-e-t）。

上面示例如果是在液体中初速度为零下落，那么上面示例的解答会更方便一些。

当v0=0， =- dt 解得：v=e-t。

dy=e-tdt分离变量然后两端积分得：y=1-e-t。

由上面学生的解答可以看出，学生对“基本的概念理解不透彻，不能在新旧知识的联系与区别中重建认知结构”[1]。因此，教师在教学过程中要把概念的内涵、外延以及与其关联的概念讲透彻；同时在教学过程中应注意不同题设的对比研究，引导学生积极探索，完善高中所学知识，自觉从常量计算到变量计算的引伸，并巩固新知识。美国著名心理学家布鲁纳曾经说过：掌握一般概念和原理是通向普遍迁移的大道。“共同寻找通向知识的旅程和理解世界运作方式”[2]，我们在掌握基本概念原理后，向更普遍的问题思考，这样容易促使易混知识在学生头脑中彻底分化，从而加深对基本概念、原理的理解。

参考文献：

[1]郑挺谊.前概念——科学教学中的一道坎[J].物理教学探讨，2014，（3）：22.

[2]王新华.在学习共同体中开展家庭弹性物理实验[J].物理教学探讨，2014，（3）：47.

（栏目编辑 罗琬华）