一次函数例题剖析

李如

问题2 ：甲、乙两家公司出租汽车收取的租车费y1（元）、y2（元）都是用车历程x（千米）的函数，它们的图像如图（1）.

（1） 用车里程多少时，甲、乙两公司的租车费相等？

（2） 用车里程多少时，甲公司的租车费用比乙公司少？

（3） 用车里程多少时，乙公司的租车费用比甲公司少？

例题分析：问题2中提出的三个问题都是对两家公司的租车费用的比较.在进行比较的时候，其实有一个默认的前提——在相同的用车里程下进行比较，否则没有意义.也就是说我们是在同样的x取值下比较y值.相同的x取值反映在坐标系中是在同一条垂直于x轴的直线上.例如图（2），在x取值为a时，y1、y2的取值分别为c、b.当a的取值从0开始变大，这条垂直于x轴的直线也随之向右移动，我们只要根据两个函数值大小情况的变化进行分类就可以解决这个问题.

问题延伸：

（1）根据图像中的数据，分别求出两个一次函数的关系式，说说它们的实际意义；

（2）观察两个图像与y轴的交点的坐标，说说这两个点实际意义的理解.这个意义在两个函数关系式中是如何体现的？

（3）随着x的增大（即从左往右看），两个函数图像都在上升，为什么会上升？两个函数图像上升的“速度”一样吗？这跟它们的关系式有什么联系？

（4）现在有一家特殊的租车公司丙，由于签订了车身的广告合同，租车人在租车时行驶时就相当于在做广告.为了鼓励租车人行驶更多的历程，丙公司制定了如下的租车方案：用户在租车时先缴纳1000元的预付款，每行驶一公里公司奖励租车人0.5元（相当于租车人每公里再付-0.5元的费用），如果行驶里程足够长，租车人甚至可以从丙公司得到若干费用（相当于付出的总费用为负数）.还有一家租车公司丁采用了与丙公司类似的费用方案：不收取租车人的费用，租车人每行驶1公里公司付给租车人1元的费用.请你根据实际意义分别列出在丙公司租车的费用y3（元）y4（元）与行驶里程x（千米）的函数关系式；画出这两个函数的图像，对比四个函数关系式说说一次函数关系式中一次项系数对函数图像的影响.

解析：

（1）y1=x，表示每行驶1公里，租车人要向甲公司付出1元租车费用；y2=0.5x+1000，表示乙公司的租车费用分两个部分：租车人每行驶1公里要向乙公司付出1元租车费用，同时还要在总费用中加上1000元的固定费用；

（2）图像与y轴交点横坐标为0，其实际意义为行驶里程为0时要付出的费用分别为0元、1000元；这两个数据在解析式中分别是两个函数解析式中的常数项；

（3）随着里程x（千米）的增加，费用y（元）也在增加（分别是每公里增加1元、0.5元）. 在平面直角坐标系中，x的增加表示点在向右移动，y的增加表示点向上移动，所以两个函数图像上越向右越高，即从左到右图像上升；函数y1=x图像上升的“速度”更快；根据实际意义函数图像的上升是由于1和0.5的存在影响的，对比一下：1﹥0.5，而函数y1=x图像上升的“速度”更快，得到猜想：一次项系数决定着图像上升（随着后面问题的深入，也可能是下降）的速度；

（4）y3=-0.5x+1000，y4=-x；如图（3）两个函数图像与前两个函数图像画在同一平面直角坐标系中；对比函数y1=x 和函数y4=-x图像，一次项系数分别为1和-1，这两个数绝对值相同，只有符号不同.两个函数图像分别上升和下降，而且上升下降的速度相同，由此得出一次项系数的符号决定着一次函数图像的上升或下降.对比函数y2=0.5x+1000和函数y3=-0.5x+1000的图像可以验证这种认识.把函数y1=x 和函数y4=-x的图像作为一组、函数y2=0.5x+1000和函数y3=-0.5x+1000的图像作为另一组，每组函数的一次项系数绝对值相同，两者比一次项系数较绝对值大的前一组图像上升或下降的速度更快.根据这种对比我们得出关于一次项系数的另一种认识：一次函数一次项系数的绝对值决定着函数图像上升或下降的速度，绝对值越大，图像上升或下降的速度也越快.