闲看问题如临花照水，巧借参数似云卷云舒

■巧借参数，便于运算，妙释疑难

例1 已知x，y，z>0，且lgx+lgy+lgz=0，求x■·y■·z■的值. （选自高三考试题）

解析：由lgx+lgy+lgz=0？圯lg（xyz）=0？圯xyz=1.

设x■·y■·z■=t， ①

将①式两边同取以10为底的对数得

lgx■·y■·z■=lgt

？圯lgx■+lgy■+lgz■=lgt

？圯■+■lgx+■+■·lgy+■+■lgz=lgt

？圯■+■+■+■+■+■=lgt

？圯logyx+logzx+logzy+logxy+logxz+logyz=lgt

？圯logy（xz）+logz（xy）+logx（yz）=lgt. ②

由xyz=1得到xz=■，xy=■，yz=■，代入②得到

logy■+logz■+logx■=lgt

？圯（-1）+（-1）+（-1）=lgt

？圯lgt=-3=lg10-3

？圯t=10-3=■，

即x■·y■·z■=t=■.

点评：本题化简x■·y■·z■较为复杂，我们通过引入参数t，将式子x■·y■·z■设为t，将题目中要求的值转化为求t的值. 而等式x■·y■·z■=t是较为容易化简的，只需将等式两边同取对数，容易算出t=10-3=■，于是得到结果. 本题通过巧借参数t使式子x■·y■·z■便于运算.

■巧借参数，利用意义，妙释疑难

例2 如图1，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在（0，1），此时圆上一点P的位置在（0，0），圆在x轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于（2，1）时，■的坐标为___________. （选自2012年高考山东卷）

■

图1

解析：如图1所示，设Q（2，1），Q在x轴的射影为B. 设弧PB的长为l，过点Q且平行与x轴的直线QM交圆Q右侧于M点，设∠PQM=θ，此时圆Q：（x-2）2+（y-1）2=1.

由题意知l=OB=2，则∠PQB=■=2，则∠PQM=θ=■-2. 对于圆Q：（x-2）2+（y-1）2=1上点P（x，y），由圆的参数方程的几何意义知

x=2+cosθ，y=1+sinθ，

即x=2+cos■-2=2-sin2，y=1+sin■-2=1-cos2，

所以■=（2-sin2，1-cos2）.

点评：本题先利用弧长公式得到∠PQB=■=2，再由圆的参数方程的几何意义知圆Q上点P（x，y）满足x=2+cosθ，y=1+sinθ，①将θ的值代入①化简即可求出点P的坐标，进而求出■的坐标. 因此，解决本题的关键是巧借参数θ，利用参数θ的几何意义解题.

■巧借参数，减少变量，妙释疑难

例3 已知P（x，y）是椭圆■+■=1上的点，求x+y的取值范围. （选自高三考试题）

解析：本题采用三角换元.

令x=3cosθ，y=■sinθ，

则x+y=3cosθ+■sinθ=■·sinθ+■=2■sinθ+■∈[-2■，2■].

点评：本题通过三角换元的方法巧借参数θ，于是我们将含两个变量x和y的式子x+y变为含一个变量θ的式子3cosθ+■sinθ，从而减少未知量的个数，使式子便于处理.

■巧借参数，方可运算，妙释疑难

例4 已知圆C：x2+y2=9，点A（-5，0）. 在直线OA上（O为坐标原点），存在定点B（不同于点A），满足：对于圆C上任一点P，都有■为一常数，试求所有满足条件的点B的坐标. （选自江苏模拟考试）

解析：设P（3cosθ，3sinθ），B（x0，0），

设■■=λ，

则？坌θ∈R，

■■=λ成立

？圯？坌θ∈R，

■=λ成立

？圯？坌θ∈R，9-6x0cosθ+x20=30λcosθ+34λ成立

？圯？坌θ∈R，（30λ+6x0）cosθ+34λ-x20-9=0成立

？圯30λ+6x0=0，34λ-x20-9=0，

？圯x0=-5，λ=1，（不合题意，舍去）或x0=-■，λ=■.

所以B的坐标为-■，0.

点评：本题得到■为一常数，为了让上式可以运算下去，我们通过引入参数λ，构造一个恒等式，从而求出B的坐标. 因此，本题是通过巧借参数，让题目可以运算下去.

■巧借参数，得到关系，妙释疑难

例5 已知椭圆■+■=1以及点D（2，1），过D任意引直线l交椭圆于A，B两点，求线段AB中点M的轨迹方程. （选自高三考试题）

解析：由题意，设点M（x，y）.

（1）当l的斜率存在时，设经过点D（2，1）的直线l的方程为：

y-1=k（x-2），

即y=kx+1-2k.

将y=kx+1-2k与■+■=1联立，

■+■=1，y=kx+1-2k，

？圯■+■=1

？圯■+■=1

？圯■+■x2+■x+■-1=0

？圯x=■=-■？摇

？圯x=-■ ①（此时x表示点M（x，y）的横坐标）.

又点M（x，y）在直线l：y-1=k（x-2）上，

所以k=■， ②

将②代入①，得

x=-■

？圯4x+9x■=-9■+18·■

？圯4x+9■+9（x-2）■=0

？圯4x+9■+9■=0

？圯4x（x-2）+9（y-1）+9（y-1）2=0

？圯4（x2-2x）+9（y2-y）=0

？圯4（x-1）2+9y-■■=■

？圯■+■=■■（x≠2）. ③

（2）当l的斜率不存在时，M（2，0）在③上，符合题意.

综合（1）（2）知，线段AB的中点M的轨迹方程为■+■=■■.

点评：本题要求线段AB的中点M的轨迹方程，因此设出点M（x，y），寻找x与y的关系即可.

我们通过巧借l的斜率k来联系x与y，消去k即可得到x与y的关系. ■endprint