关于分数阶扩散方程的系数反问题

张 维，严春梅，文 进

(成都理工大学 管理科学学院，四川 成都 610059)

0 引 言

Ω 是Rn上的一个有界域，n ≥1，并且具有光滑的边界Ω.考虑如下初边值问题，

其中，Γ 为Gamma 函数，满足，

如果α ＞0，则满足ℓ－1 ＜α ＜ℓ，ℓ ∈N.当α= 1，2 时，此算子相当于抛物线和双曲线方程.

式(1)是非均匀介质中的反常扩散模型，可以由连续时间随机游动得到.有研究认为，分数阶扩散方程是不常用的，它包括了分数阶扩散方程的一个参数阶α.显然，它违反了高斯在实验中的普遍情况，不遵循高斯预测［1］.文献［2－ 5］对初边值问题(1)～(3)也有所研究，例如，在p ∈C(Ω—)和p ≤0 在Ω 上的条件下，有如下结论:

1)当0 ＜α ＜1 时，如果a ∈H2(Ω)∩(Ω)，方 程 存 在 唯 一 解，u ∈ C(［0，∞);H2(Ω) ∩(Ω)).此外u ∈C(［0，∞);L2(Ω)).

2)当1 ＜α ＜2 时，如果a ∈H2(Ω)∩(Ω)，方程存在唯一解，u ∈C(［0，∞);H2(Ω)∩(Ω)∩C1(［0，∞);L2(Ω)).此 外，u ∈C(［0，∞);L2(Ω)).

固定a ∈H2(Ω)∩(Ω)，由u(p，α)= u(p，α)(x，t)表示为式(1)～(3)的解.所给系数p 的初边值问题称为正问题.实践中，系数p 和分数阶导数的阶α 经常是未知的，必须通过解的可用数据来确定.这就是一个系数反问题.

对于当α = 1，2 时的系数反问题，即双曲线和抛物线类型的偏微分方程，可利用由Bukhgeim 和Klibanov 创建的方法［6］，其方法是求解偏微分方程反问题的常用方法，其基于Carleman 估计的加权L2-估计.然而，对于分数导数，αN 并不适合分部积分法的一般步骤，所以对于分数阶扩散方程(1)，不能直接证明Carleman 估计.当α = 1/2，1/3时，在一维的情况下，可以减少偏微分方程(1)中导数x，t 是自然数的阶数，建立Carleman 估计.Cheng［7］证明了在一般情况下，当α = 1/2 时的Carleman 估计，但是对于一般的α，Carleman 估计的证明仍然是很难的.因此，除α = 1/2 时或其他特殊的α 值以外，即使在一维情况下，系数反问题都没有结果.

本研究的目的是通过数据u |w×(0，T)(T ＞0，w⊂Ω 是恰当的子域)来证明式(1)中系数反问题，p(x)，x ∈Ω 和α ∈(0，1)∪(1，2)，的唯一性.所提供的数据，u|w×(0，T)不仅能够确定p(x)，还能确定阶数α.

1 符号与引理

对于任意给的常数M ＞0，光滑函数η，有，

引理1 如果A 随着增长阶，‖Cos(s)‖ℓ(x)≤Meθs，s ≥0，生成一个余弦算子函数Cos，对于分数阶扩散问题，α

t φ(t)= Aφ(t)，t ＞0，φ(0)= a，α∈(0，2)，是适定的，其解算子满足增长阶‖Sα(t)‖ℓ(X)≤Mαeθ2/αt，t ≥0，表达式为，

这里的内核Kα定义是依赖以下的Wright 函数Φγ，

引理2 α ∈(0，2)，f(t)，t ≥0 是在Banach 空间X 中的函数且满足，‖f(t)‖≤Meθt，t ≥0.f 随着式(8)定义的核Kα转换，定义为，

引理3［9］如果0 ＜α ＜2，β 是任意的常数，μ是任意的实数，满足则对于任意的p ≥1，有以下展开式，

2 定理与证明

定理1 α，β ∈(0，1)∪(1，2)，假定式(5)、(6)成立，且p，q ∈UM.

1)如果在w ×(0，T)中，u(p，α)= u(q，α)，则在Ω 中，p = q.

2)假设a ≤0，或者a ≥0，或者a ≠0.如果在w ×(0，T)中，有u(p，α)= u(q，β)，则在Ω 中，有α= β 且p = q.

证明 令w = w(p)是以下方程的解:

由式(5)和p ∈W1，∞(Ω)，可以得到，

由引理1，当x ∈Ω 且t ＞0 时得，

和

假设，

由解t 的解析性［10］，可得，

因此，

对任意的x ∈w，由引理2 得，

由式(13)和p，q ∈W1，∞(Ω)，在Ω 中可以得到p = q.因此定理1 的第一部分得到证明.

假设在w × (0，T)中，u(p，α)= u(q，β).由解t 的解析性可得，

因 为，p ∈ W1，∞(Ω)， 通 过(Apu)(x) =－△u(x)－ p(x)u(x)和D(Ap)= H2(Ω)∩(Ω)，定义一个算子，Ap∈L2(Ω).设{λk}k∈N和{μk}k∈N是算子Ap和Aq所有特征值的集.注意λk，μk＞0，且从L2(Ω)到 它 自 身 是 有 界 的.则，{φkj}1≤j≤mk和{Ψkj}1≤j≤nk，k ∈N 是Ker(Ap－ λk)和Ker(Aq－ μk)的标准正交基，每一个{φkj}k∈N，1≤j≤mk和{Ψkj}1≤j≤nk在L2(Ω)中都是标准正交基.(·，·)是L2(Ω)中的内积.则有，

u(p，α)(x，t)

和，

由式(5)知级数在C(［0，∞);H2(Ω)∩(Ω))中是收敛的.

由引理3，当t →∞时可得，

和，

其中，Γ(1－α)≠0，且－1 ＜1－α ＜1，1－α ≠0.

此外，在Ω 中易得，

和，

由式(14)，当t →∞时有，

| (A－1pa)(x)| =| b(x)| ＞0，x ∈Ω.

同理，对于x ∈Ω，有| (A－1qa)(x)| ＞0.固定，和且cp≠0，cq≠0.由式(15)，当t →∞时得，

若α ≠β，不失一般性，假设α ＜β，等式两边同乘以tα得，

当t →∞时，由tα－β，tα－2β→0 可得cp= 0，矛盾.因此，α = β.由此，定理1 第二部分的证明简化为第一部分的证明，即定理得证.

3 结 论

本研究考虑分数阶扩散方程系数反问题，讨论了空间系数p(x)，x ∈Ω 的反问题并通过数据u|ω×(0，T)确定分数阶导数的阶数α，并证明了p(x)，x∈Ω 和α ∈(0，1)∪(1，2)的唯一性.

［1］Metzler R，Klafter J.The random walk＇s guide to anomalous diffusion:a fractional dynamics approach［J］.Phys Rep，2000，339(1):1－77.

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［5］Sakamoto K，Yamamoto M.Initial value/boundary value problems for fractional diffusion-wave equations and applications to some inverse problems［J］.Math Anal Appl，2011，382(1):426－447.

［6］Bukhgeim A L，Klibanov M V.Global uniqueness of a class of multidimensional inverse problems［J］.Sov Math Dokl，1981，24(2):244－247.

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［9］Podlubny I.Fractional differential equations［M］.San Diego，CA:Academic Press，1999.

［10］Sakamoto K，Yamamoto M.Initial vale/boundary value problems for fractional diffusion-wave equations and applications to some inverse problems［J］.Math Anal Appl，2011，382(1):426－447.