一个非均匀液体中浮力题解法的探讨

杨 玲

（苏州新区一中，江苏 苏州 215000）

学生在学习了初中物理“浮力”部分知识后普遍反映这部分内容较难，究其原因就是这部分知识有几个重要的计算公式①F浮＝F下表面－F上表面；②F浮＝G－F；③F浮＝G排液＝m排液g；④F浮＝ρ液V排g；⑤ 物体漂浮或悬浮时F浮＝G物.如果不能很好掌握这些公式的来龙去脉以及使用时要注意的条件，我们就不能很好判断在具体题目中用哪个公式最合适.

有这样一个题目：某溶液的密度ρ随溶液深度h按照规律ρ＝ρ0＋kh变化，ρ0＝1g/cm3，k＝0.01g/cm4.用不可伸长，长度为5cm 的细线将A、B两个立方块连在一起并放进溶液内.已知VA＝VB＝1cm3，mA＝1.2g，mB＝1.4g，则平衡时立方块A中心所在的深度为______cm，细线上的拉力为______N.（假设溶液足够深）

提供的解题思路如下.

设A立方块所处深度为hA，B立方块所处深度为hB，由于mA＜mB，所以B立方块应在A的下方.则hB＝hA＋0.06m，将A、B看作整体，根据物体的悬浮条件可得F浮A＋F浮B＝GA＋GB，可得

代入数据得2×1×103kg/m3×1×10－6m3＋0.01×105kg/m4×（hA＋hA＋0.06m）×1×10－6m3＝2.6×10－3kg.

解得hA＝0.27m＝27cm，hB＝hA＋0.06m＝0.27m＋0.06m＝0.33m；ρB＝ρ0＋khB＝1×103kg/m3＋0.01×105kg/m4×0.33m＝1.33×103kg/m3.

B球受到的浮力FB＝ρBgVB＝ρBgV＝1.33×103kg/m3×10N/kg×1×10－6m3＝0.0133N.

B球重GB＝mBg＝0.0014kg×10N/kg＝0.014N.

因为GB＝FB＋F拉，所以F拉＝GB－FB＝0.014N－0.0133N＝0.0007N.

故答案为27cm，0.0007N.

这一题考查了学生对重力公式，阿基米德原理，物体浮沉条件的掌握和应用.但笔者认为这样的解法欠妥，因为这种解法忽略了浮力的产生条件：物体浸在液体中受液体对它上下表面的压强差，对于如题中正方体等规则物体，浮力等于液体对它上下表面的压力差.F＝（p下液－p上液）S.

笔者认为此题的正确解法如下.

图1

由于mA＜mB，所以B立方块应在A的下方.如图1所示，设A立方块上表面所处深度为hA，则A立方块下表面所处深度为hA′＝hA＋0.01，B立方块上表面所处深度为hB＝hA＋0.06，B立方块下表面所处深度为hB′＝hA＋0.07.

由题可知：某溶液的密度ρ随溶液深度h按照规律ρ＝ρ0＋kh，可得A立方块上表面液体密度为ρA＝ρ0＋khA，A立方块下表面液体密度为ρA′＝ρ0＋k（hA＋0.01），B立方块上表面液体密度为ρB＝ρ0＋k（hA＋0.06），B立方块下表面液体密度为ρB′＝ρ0＋k（hA＋0.07）.

因为A、B两个立方块体积均为1cm3，所以它们的上下表面面积SA＝SB＝S＝1cm2.

将A、B看作整体，根据物体的悬浮条件可得

其中F浮A＝ρA′ghA′S－ρAghAS，

代入可得

代入数据，经计算可得

A球受到浮力为

A球重力为GA＝mAg＝0.0012kg×10N/kg＝0.012N.

因为F浮A＝GA＋F拉，则F拉＝F浮A－GA＝0.0124N－0.012N＝0.0004N.

本题正确答案为11.5cm，0.0004N.

这一题中提供的解题思路忽略了溶液密度随深度会发生变化这一条件，而笔者认为这是这一题最重要的条件.F浮＝ρ液V排g只是阿基米德原理（F浮＝G排液）的一个推导公式，只有当液体密度均匀时，G排液才能简单用ρ液V排g来代替，此题中液体密度随深度变化，那么需要用到微积分部分的知识G排液＝∫ρ液gSdh.这显然超出了初中生的知识范围，因此此处利用浮力产生条件来解题是最恰当的.