递推法在解决高中物理问题中的应用

陈 燕

（西安交通大学苏州附属中学，江苏 苏州 215021）

递推法是一种研究问题的基本方法，它是从认识个别的、特殊的事物推出一般原理和普遍事物.特别是数学递推法对人的思辨性思维要求较高，要根据已有的前提条件，进行归纳和逻辑推导，进而得到最终的结论.凡涉及递推法求解的物理问题都具有过程多、重复性强的特点，但每一个重复过程均不是原来的完全重复，而是一种变化了的重复，随着物理过程的重复，某些物理量逐步发生着前后有联系的变化.

利用递推法求解物理问题基本思路为：先分析某一次物理过程，得出结论；再逐个分析多个相近的物理过程，得出结论；最后利用递推思想找出任意情况下的通式，归纳出各个物理量间的关系，应用数学方法或规律求解出物理问题.

下面笔者通过近3年来江苏高考物理试卷中的几道题的解法分析，谈谈递推法在高中物理解题中的妙用.

1 研究过程有规律重复时可使用递推法

图1 质谱仪工作原理图

（1）求原本打在MN中点P的离子质量m；

（2）为使原本打在P的离子能打在QN区域，求加速电压U的调节范围；

（3）为了在QN区域将原本打在MQ区域的所有离子检测完整，求需要调节U的最少次数（取lg2＝0.301，lg3＝0.477，lg5＝0.699）.

解析：（1）离子在电场中加速，有

在磁场中做匀速圆周运动，有

由（1）、（2）两式可得

（3）此题作为高考物理试题的最后一道计算题的最后一小题，让不少学生望而生畏.绝大多数学生对于这一小题，找不到切入的方法.其实审清题目要求后，我们可以分析出要能在QN检测出所有MQ间的离子，则要调节电压变大，使离子半径增大，打在采集器上的落点向右移，但是打在最右边的离子不能超出N点，否则就检测不到，于是我们可以把MQ区域分割成很多小区域，把打在一个个小区域的离子往右侧调，使它刚好可以打到QN区域.第1次调节到某个电压，刚好可以使原本打在Q点的离子打到N点，而原本打在Q1的离子刚好可以打到Q点，第2次调节只要使原本打在Q1的离子能打到N点，而原本打在Q2的离子刚好可以打到Q点，则第3次调节只要使原本打在Q2的离子能打到N点，而原本打在Q3的离子刚好可以打到Q点，以此类推，如图2所示，就可以归纳出题目的规律和特点.具体解答如下：

图2

由（1）式可知，r∝，第1次调节电压到U1，使原本打在区域Q1Q的离子恰好能打到QN，则原本打在Q点的离子打在N点，满足

原本打在半径Q1点（半径r1）的离子打在Q点，满足

两式相比可得Q1处离子运动半径为r1＝（5/6）2L.

第2次调节电压到U2，使原本打在区域Q2Q1的离子恰好能打到QN，则原本打在Q1点［半径r1＝（5/6）2L］的离子打在N点满足

原本打在半径Q2点（半径r2）的离子打在Q点满足

两式相比可得Q2点处离子运动半径为r2＝（5/6）3L.

同理可得，第n次调节电压Un，可将打在Qn点（半径为rn）的离子打在Q点，rn＝（5/6）nL，

此问题的分析和研究过程具有规律性的重复，我们只需分析最初几次规律，就可以通过递推归纳出问题要满足的条件，因此，像这种对于研究过程具有规律性重复的问题我们通常可以使用递推法解题.

2 运动过程有周期性变化时可使用递推法

例2.（2014年江苏高考第14题）某装置用磁场控制带电粒子的运动，工作原理如图3所示.装置的长为L，上下两个相同的矩形区域内存在匀强磁场，磁感应强度大小均为B、方向与纸面垂直且相反，两磁场的间距为d.装置右端有一收集板，M、N、P为板上的3点，M位于轴线OO′上，N、P分别位于下磁场的上、下边界上.在纸面内，质量为m、电荷量为－q的粒子以某一速度从装置左端的中点射入，方向与轴线成30°角，经过上方的磁场区域一次，恰好到达P点.改变粒子入射速度的大小，可以控制粒子到达收集板上的位置.不计粒子的重力.

图3 磁场控制带电粒子运动的工作原理图

（1）求磁场区域的宽度h；

（2）欲使粒子到达收集板的位置从P点移到N点，求粒子入射速度的最小变化量Δv；

（3）欲使粒子到达M点，求粒子入射速度大小的可能值.

解析：（1）设粒子在磁场中的轨道半径为r，根据题意可得，

（2）设改变入射速度后粒子在磁场中的轨道半径为r′，则

由题意得 3rsin30°＝3r′sin30°，解得

（3）如图4所示，粒子要能上移到M点，则入射速度要变小，在区域内至少2次通过上下磁场（若小于2次，则半径太大，粒子要从磁场的上边界飞出，脱离区域运动），作出运动轨迹图像，可以看出，如果粒子要能到达M点，可能是通过2次磁场后到A点时刚好到达M点，也可以速度再小，则3次通过磁场后到C点恰好是到达M点，以此类推，如果速度更小，还可能4次通过磁场后到达M点、5次通过磁场后通过M点，粒子在区域中的运动具有周期性变化的规律.具体解法如下：

图4

第1种可能是2次通过磁场后到达M点，有

L＝4dcos30°＋4rsin30°，

第2种可能是3次通过磁场后到达M点，有

L＝6dcos30°＋6rsin30°，

第3种可能是4次通过磁场后到达M点，有

L＝8dcos30°＋8rsin30°，

同理可推得第n种可能满足规律

L＝（2n＋2）dcos30°＋（2n＋2）rnsin30°.解出粒子在磁场中做圆周运动的半径满足的条件为

此题最大的特点就是粒子在区域中运动具有完美的周期性，我们只要抓住区域长度，分析最初几次能到达M点满足的关系式，就可以递推出所有可能到达M点要满足的条件，因此，像这种对于物体运动过程具有周期性变化特征的问题我们也常常从递推法入手找规律.

图5

（1）求P在磁场中运动时速度的大小v0；

（2）求B0应满足的关系；

图6

（2）只有当t＝2τ时，P在磁场中做圆周运动结束，再开始沿x轴负方向运动，才能沿一定轨道做往复运动，如图6所示.

设P在磁场中做圆周运动的周期为T.则由递推法可知

由匀速圆周运动有

图7

此后P的运动情况与上述运动完全相同，可以递推出速度为0的时刻横坐标x＝0，纵坐标由A、B两种情况，递推出规律满足

代入r1、r2解得

此题的特点就是粒子P运动过程比较复杂，且具有周期性，我们只需要分析出一个过程的运动情况就可以递推出粒子做周期性运动的规律，从而寻找到解题的办法.