利用拓扑优化法解决设计优化问题

黄自豪，陈劲杰，田绍兴

（上海理工大学 机械工程学院，上海 200093）

1 拓扑优化

拓扑优化技术是结构优化技术中非常有创新性，有前景的一项技术。具体是指：在给定空间内找到最佳的材料分布或者传力的路径，在满足各种性能的前提下可以得到重量最轻的设计，从而得到最优化方法中需求的最优解。

产品设计分为三个层次：结构尺寸优化。形状优化和拓扑优化，尺寸优化与形状优化已经得到充分的发展，但它们却存在着不能变更结构拓扑的缺陷，在这样的背景下，人们开始研究拓扑优化。拓扑优化的基本思想是将寻求结构的最优拓扑问题转化为在给定的设计区域内寻求最有材料分布的问题，拓扑优化的基本原理是在满足结构体积缩减量的前提下使结构柔度最小，极小化的柔度换言之就是结构的最大刚度。寻求一个最佳的拓扑结构形式有两种基本意愿：一种是退化原理，另一种是进化原理。退化原理的基本思想是在优化前将结构所有杆单元或所有材料都加上，然后构造适当的优化模型，通过一定的优化方法逐步删减那些不必要的结构元素，直至最终得到一个最优化的拓扑结构形式。进化原理的基本思想是适者生存的生物进化原理的基本思想，即把适者生存的生物进化论思想引入结构拓扑优化，它通过模拟适者生存、物竞天择、优胜劣汰等自然机理来获得最优的拓扑结构。

相比结构优化，拓扑优化具有不需要人工定义优化参数，而是自动将材料分布当着优化参数，在应用中我们只需要给出结构的参数（材料特性、模型、载荷等）和要省去的材料百分比的特点。在进行拓扑优化分析时，同其他分析一样定义几何结构、有限元模型、载荷与边界条件等，然后定义优化的目标函数，从定义约束参数。拓扑优化的目标即目标函数是在满足给定的实际约束条件下（如体积减小）需要极大或极小化的参数，通常采用的目标函数是结构柔度能量极小化和基频最大等。目前常使用的拓扑优化设计方法可以分为两大类：退化法和进化法。退化法即传统的拓扑优化方法，一般通过求目标函数导数的零点或一系列迭代计算过程求最优的拓扑结构。目前常用于拓扑优化的退化法有基结构方法、均匀化方法、变密度法等，需要强调的是本次研究运用变密度法以机床头架为例来分析优化。

变密度法的基本算法及相关解释：

式中，V为优化后的结构体积；V0为结构的初始体积；f为体积约束参数；K、C（x）、C′（x）分别为 RAMP模型的刚度矩阵、柔度函数和灵敏度函数。

在目标函数以及约束条件中，x是设计变量，N为划分的单元数目，C为结构的柔度，C′为结构的灵敏度，［K］为结构的总刚度矩阵，［Ki］为第i个单元的单元刚度矩阵，｛U｝为结构的位移向量，｛Ui｝为第i个单元的位移向量，｛F｝为载荷向量。

在RAMP模型中，x和p是每个结构单元的弹性模量的控制参数。当x取不同值的时侯，中间密度单元不同会导致单元弹性模量参数有逼近0或E0的趋势。

2 拓扑优化实例解决优化设计问题

下面将以机床头架上的后盖板零件为例解决优化设计问题。对于机床来说，头架是非常重要的部件，头架的静、动态性能直接影响着机床加工精度，因此提高机床头架的特性，对机床的加工精度，加工效率和加工质量都有着十分重要的意义。由于头架的设计都是根据经验设计，因此头架的性能并没有得到充分地开发，使得头架在设计时并没有考虑材料的分布，结构的合理性。通过计算分析，头架的设计趋于保守，有着很大的优化空间，在满足加工所需要的强度、刚度和精度的条件下，对头架进行轻量化设计。材料的减少虽然会降低头架的刚度，但会使得立柱的应力分布均匀，工作中更加地稳定，精度也得到了提高。这也是我们在解决最优化问题时的局部最优解。

首先对零件进行前处理，将后盖板零件的Solidworks中得到的三维模型导入HyperMesh软件中得到图1所示的效果。

图1 后盖板模型图

在HyperMesh软件中完成单元网格的划分如图2所示，并且完成网格质量的检测如图3所示，需要强调的是此软件中可自动检测单元网格的质量，显示绿色为合格。

图2 后盖板单元网格划分图

图3 后盖板零件网格质量检测图

在得到已经划分好单元网格的零件后，对其赋予密度，材料，泊松比以及杨氏弹性模量等材料特性。接着依据零件的受力计算得到图4所示的集中力作用值，同时确定其约束情况；在完成拓扑参数的创建后，进行体积响应与位移响应的创建，其中前者为拓扑优化计算中的目标，而后者为拓扑优化计算中的约束。

图4 后盖板零件施加约束载荷图

然后进行后处理，即为计算部分，由于此部分可由计算机自动完成，因此可以直接得到计算结果如图5，图6，图7所示。其中图5是由ABAQUS软件得到应力应变云图，用于与拓扑优化结果的对比分析。

图5 后盖板零件应力应变云图

图6 后盖板零件拓扑优化结果1

图7 后盖板零件拓扑优化结果2

由应力应变云图和拓扑优化结果图可以分析出，在应力应变较大的地方即施加载荷的圆孔周围，其相应材料密度也是较大的，因此显示为红色部分，为需要加强区域；而在应力应变较小的部分云图也显示为蓝色部分，为可以去除部分。最终得到分析优化后的效果图如图7所示，注：四周红色为施加约束区域，为不可去除的区域，所得到结果是优化计算的最优解。

3 总结与讨论

经济的高速发展导致了各行各业竞争越来越激烈，所以在产品的研发和设计中，最优化方法运用越来越广泛。因此，多种新的设计优化方法应运而生。

本文将最优化方法中的有限元法应用于机床头架零件，对其进行拓扑优化，从而达到减轻头架质量的目的。主要做了一下几个方面的工作：

（1）介绍了拓扑优化的定、产生背景及特点；（2）利用Solideworks软件与HyperMesh软件的无缝连接，将三维实体导入后者中，在从HyperMesh完成网格划分的工作，变成网格模型完成前处理的工作。（3）运用HyperMesh软件与ABAQUS软件的无缝连接，将网格模型导入后者，在应用ABAQUS软件得到应力应变图。在HyperMesh中对头架零件模型零件进行拓补优化工作：以降低零件重量为总体目标，且能满足头架的强度、刚度和耐磨性，使头架零件的材料分布更加合理，最终得到头架零件的优化模型，从而最终解决了最优设计的问题，为电子产品、重型机械、微机电系统、汽车工业、航空航天等工业领域的零部件设计优化提供了依据。

［1］ 王钰栋，金 磊.HyperMesh＆HyperView应用技巧与高级实例［M］.北京：机械工业出版社，2010.

［2］ 洪清泉，赵 康.OptiStruct＆HyperStudy理论基础与工程应用［M］.北京：机械工业出版社，2010.

［3］ 刘鸿文.简明材料力学［M］.北京：高等教育出版社，2007.