静电场中的常见图象及应用

曾明

静电场既是高中物理的重点，又是难点，它所涉及的物理量较多，关系复杂.由于在讨论各个物理量之间的关系时，很多学生都习惯用函数关系式，有些问题就显得特别复杂.其实，如果能用图象处理有些静电场中的问题，往往可以达到化难为易，化繁为简的目的.同时应用图象研究物理问题，还有利于培养学生数形结合，形象思维，灵活处理物理问题的能力，也是高考中体现能力的命题点.

下面就举例分析静电场中常见图象问题的处理方法.

一、静电场中的E-x图象

图象表示电场中的场强随坐标变化的函数关系，图象与x轴围成的面积表示电势差.

例1空间有一沿x轴对称分布的电场，其电场强度E随x变化的图象如图1所示.下列说法正确的是（ ）.

A.O点的电势最低

B.x2点的电势最高

C.x1和-x1两点的电势相等

D.x1和x3两点的电势相等

解析电场强度是矢量，正负表示方向.由图象可知，从坐标原点沿x轴正方向，场强方向与+x方向相同，从坐标原点沿x轴负方向，场强与-x方向相同.因为沿着电场线的方向电势降低，所以从坐标原点O沿x轴正方向电势降低，从坐标原点沿x轴负方向电势也降低，故坐标原点O的电势最高，A、B错误.由于电场沿x轴对称分布，从图象可以看出，从坐标原点O沿+x方向和-x方向经相同距离x1，E-x图象和x轴所围成的面积相等，即电势降低相同的量，所以C正确.从x1到x3是沿着电场线的方向，所以x3点的电势比x1点的电势低，D错误.本题正确答案是C.

点评解答本题的关键是：（1）知道在一维坐标中，矢量的方向用正负表示；（2）沿着电场线的方向电势越来越低；（3）E-x图象和x轴所围成的面积表示电势差.

二、静电场中的φ-x图象

图象表示电势随坐标变化的函数关系，图象上某点切线的斜率表示该位置的电场强度.

例2两电荷量分别为q1和q2的点电荷放在x轴上的O、M两点，两电荷连线上各点电势φ随x变化的关系如图2所示，其中A、N两点的电势为零，ND段中C点电势最高，则（ ）.

A.C点的电场强度大小为零

B.A点的电场强度大小为零

C.NC间场强方向向x轴正方向

D.将一负点电荷从N点移到D点，电场力先做负功后做正功

解析由于φ-x图象某点切线的斜率表示该点电场强度的大小，所以C点的场强大小为零，而A点的场强大小不为零，A正确，B错误；从图象上的N点到C点，电势不断增大，根据沿着电场线电势降低可知，电场强度方向应向x轴的负方向，C错误；从N到D，电势先增大后减小，故负电荷的电势能先减小后增大，因而电场力先做正功后做负功，D错误.本题正确答案为A.

点评正确解答本题的关键是：

（1）知道φ-x图象的切线斜率表示电场强度的大小；

（2）沿着电场线的方向电势降低；

（3）正电荷在电势高处电势能大，负电荷在电势高处电势能小；（4）电场力做正功，电势能减小，电场力做负功，电势能增加.

三、静电场中的v-t图象

图象表示电荷运动速度随时间变化的关系，图象上某点切线的斜率表示加速度，图象与t轴围成的面积表示位移.

例3如图3甲所示，Q1、Q2为两个固定点电荷，其中Q1带正电，它们连线的延长线上有a、b两点.一正试探电荷以一定的初速度沿直线从b点开始经a点向远处运动，其速度图象如图3乙所示.则（ ）.

A.Q2带正电B.Q2带负电

C.试探电荷从b到a的过程中电势能增大

D.试探电荷从b到a的过程中电势能减小

解析试探电荷从b点开始经a点向远处运动时，处在Q1和Q2电荷产生的合电场中.由图3乙可知，试探电荷先做减速运动，若Q2为正，则该电荷将一直加速，故Q2为负，A错误，B正确；试探电荷从b到a的过程中，由图3乙可知，电荷做减速运动，故电场力做负功，因此电势能增大，故C正确，D错误，本题正确答案是BC.

点评解答本题的关键是：（1）电场的叠加：（2）物体做加、减速运动的条件；（3）电场力做功和电势能变化的关系.

四、静电场中的E-t图象

图象表示电场中的场强随时间变化的关系.

例4一电荷量为q（q>0）、质量为m的带电粒子在匀强电场的作用下，在t=0时由静止开始运动，场强随时间变化的规律如图5所示.不计重力，求在t=0到t=T的时间间隔内

（1）粒子位移的大小和方向；

（2）粒子沿初始电场反方向运动的时间.

解析（1）粒子在0～T/4、T/4

～T/2、T/2～3T/4、3T/4～T时间间隔内做匀变速运动，

设加速度分别为a1、a2、a3、a4，由牛顿第二定律得qE0=ma1、2qE0=-ma2、2qE0=ma3、qE0=-ma4.

由此得带电粒子在0～T时间间隔内运动的a-t图象如图6（a）所示，对应的v-t图象如图（b）所示，其中

v1=a1T4=qE0T4m

由图6（b）可知，带电粒子在t=0到t=T时的位移为

s=T4v1，

联立解得s=qE0T216m

它的方向沿初始电场正方向.

（2）由图（b）可知，粒子在t=3T/8到t=5T/8内沿初始电场反方向运动，总的运动时间为t=5T8-3T8=T4.

点评解答本题要注意：（1）研究带电粒子在交变电场中运动，一定要分段进行；（2）通过图象转换直观地表示出带电粒子的运动情况；（3）知道加速度图象与t轴所围成的面积表示速度改变的大小，正负表示方向，速度图象与t轴所围成的面积表示位移大小，正负表示方向.

五、静电场中的φ-t图象

图象表示电场中的电势随时间变化的关系.

例5如图7所示，A、B为一对中间开有小孔的平行金属板，相距一定距离，A板接地，现有一电子在t=0时刻在A板小孔中由静止开始向B板运动，不计重力及阻力影响，使电子一定能从B板小孔射出，则B板电势φB与时间t的变化规律是图8中的（ ）.

解析答案A，加在B板上的电势总为正，且大小恒定不变，那么电子进入电场之后，将一直受到向上的电场力的作用，所以电子一直做加速运动，一定能从B板小孔飞出，所以A正确.

答案B，B板上的电势按照正弦规律变化，电子进入电场之后，先是向上做加速运动，且加速度先增大后减小，当B板上电势变为负值的时候，电子做向上的减速运动，根据对称性可知，当电势再次减为零的时候，即4s时，电子的速度恰好也减为零，之后，电场又变为正，重复上面的过程，整个过程中，电子一直向上运动，可以从B点飞出， B正确.

答案C，B板上的电势按照余弦规律变化，电子进入电场之后，先是向上的加速运动，当电势变为负值的时候，电子做向上的减速运动，直到速度减为零，之后，由于电势还是负值，所以电子要做反向的加速运动，根据对称性可知，当电势变为零的时候，电子的速度最大，之后又开始做减速运动，当速度减小为零的时候，电势最大，之后再重复前面的过程，所以电子做的是上下的往复运动，不一定能够从小孔射出，所以C错误.

答案D，电子的运动情况和答案C类似，只不过在各段时间内电子都做的是匀加速和匀减速直线运动，运动的情况和答案C类似，也是往复运动，不一定能够从B板上的小孔射出，所以D错误.正确答案是AB.

点评解答本题的关键是：（1）分段处理；（2）正确分析各个过程中的受力和运动情况；（3）特别注意对称性.

六、静电场中的Ep-x图象

图象表示电荷的电势能随坐标值变化的函数关系，图象上某点切线的斜率代表电场力.

例6一带负电的粒子只在电场力作用下沿x轴正向运动，其电势能Ep随位置x变化的关系如图9所示，其中0～x2段是关于直线x=x1对称的曲线，x2～x3段是直线，则下列说法正确的是（ ）.

A.x1处电场强度最小，但不为零.

B.粒子在0～x2段做匀变速运动，x2～x3段做匀速直线运动

C.在0、x1、x2、x3处的电势φ0、φ1， φ2， φ3的关系为φ3>φ2=φ0>φ1.

D.x2～x3段的电场强度大小方向均不变，为一定值.

解析在x1处，图象切线的斜率为零，故电荷在该点的电场力为零，即场强为零.答案A错误.

在0～x2的过程中，图象的切线斜率先减小后增大，电场力先减小后增大，故不是匀变速运动.而x2～x3段的斜率不变，电场力不变，电场强度大小和方向也不变，做匀变速运动，故B错误，D正确.

在0、x1、x2、x3处，电势能的关系为：Ep3>Ep2=Ep0>Ep1，由于粒子带负电，故电势关系为：φ3<φ2=φ0<φ1，故C错误.

本题正确答案是：D

点评解答本题的关键是：（1）Ep-x图象的斜率代表电场力；（2）负电荷在高电势处的电势能小.

七、静电场中的C-d图象

图象表示电容器的电容与极板之间距离变化的关系.

例7如图10所示为一只“极距变化型电容式传感器”的部分构件示意图.当动极板和定极板之间的距离d变化时，电容C便发 生变化，通过测量电容C的变化就可知道两极板之间距离d的变化情况.在下列图中能正确反映C与d之间变化规律的图象是 （ ）.

解析动极板和定极板组成了一个平行板电容器，其电容C=εs4πkd，由于ε和S保持不变，C和d成反比，故C-d图象是一条双曲线.正确答案是A.

点评解答本题的关键是：（1）知道动极板和定极板构成一个平行板电容器；（2）写出自变量d和函数C的函数关系式.

（收稿日期：2015-02-09）