基于MATLAB数字图像处理的傅立叶变换设计

冷 斌 涂小华

(江西旅游商贸职业学院，江西 南昌 330100)



基于MATLAB数字图像处理的傅立叶变换设计

冷 斌 涂小华

(江西旅游商贸职业学院，江西 南昌 330100)

MATLAB由于计算功能强大，又能支持矩阵运算，还能实现二次开发，因此使用MATLAB软件在处理数字图像变为现实。本文重点讲述图像变换技术部分的设计，并通过傅立叶变换进行分析，并提出了科学的算法，使初学者简单易学。

MATLAB 数字图像处理 傅立叶变换 设计

人类通过图像信息来获取外部资讯，如何获取图像信息显得尤为重要，但实际中获得图像信息不仅仅是我们的目的，更为重要的是我们应该如何将图像信息进行处理，从现实中的大量复杂的图像中来获取到我们需要的信息。所以，在某种意义中来讲，对图像信息进行处理比获得图像更为重要。特别是在当今科技迅速发展的时代，对图像处理提出了更高的要求。MATLAB软件自从上世纪80年代推出以来，正逐步发展和不断完善，已成为国际公认的、最优秀的的科学计算与数学应用软件之一，它具有矩阵运算、数值分析、信号处理及图形显示为一体，构成了一个方便、友好的用户环境。能使初学者通过较短时间，做到比较系统的、感性的理解和学习图像处理技术知识。

1、MATLAB软件简介

由Math works公司开发的MATLAB软件，它是一款可视化软件，并具有高性能的数值计算能力，它集数值分析、矩阵运算、图形信号显示和处理于一体，使之成为一个比较方便的、界面友好的用户环境，在不同领域的应用中推出了神经网络、图像处理、信号处理、控制系统等30多个具有专门功能的工具箱，在MATLAB软件中，往往数值图像是以矩阵形式表示，而MATLAB软件因其有强大的矩阵运算能力，使得对图像处理非常有利，MATLAB主要优点体现在：①功能强大，可扩展性强；②界面友好，编程效率高；③易学易用；④高效性。当然MATLAB也存在自身的缺点，这要有待于今后技术人员研究改善。

2、数字图像处理技术简介

模拟图像处理和数字图像处理作为图像处理技术的两大方向，其中数字图像处理就是指将图像信号变成数字信号，然后进行计算机进行处理，数字图像处理技术主要包括几何处理、图像增强、图像复原、图像重建、算术处理、图像编码、图像识别等。数字图像处理技术的特点主要集中为再现性好，处理精度高，适用面广，灵活性高，信息压缩的潜力大，对数字图像处理办法可从几何处理、图像重建、算数处理、图像变换、图像分割、图像增强、图像复原、图像编码等方面进行。数字图像处理技术的发展涉及信息科学、计算机科学、数学、物理学及生物学等学科。

3、设计思路

通过MATLAB编程语言来设计本系统的程序，把图形用户界面来作为程序运行的界面。使得整个系统的组成分成了若干运行界面以及相应的M函数文件，在界面中，每个菜单项和控件所对应的程序，都会找到一个相应的M函数。在软件中，通常图像的数学表示形式为二元函数f(x，y)。不同的颜色或者灰度分别在函数的不同特定点中表示。通常把图像转换为另一种表示方式的操作方式简称为图像变换。通过图像变换，可以改变图像的表示数据和表示域，也可以给后面工作人员带来方便。本文将对图像处理的傅立叶变换重点建模。

(1)傅立叶变换的理论基础与算法

通过傅立叶正交变换，设包含两个离散空间变量m和n的f(m，n)函数，则可通过以下函数定义傅立叶变换：

式中，把ω1，ω2作为频域变量，其单位为弧度/采样单元。通常我们把函数f(m，n)的频域特性用F(ω1，ω2)表示。函数F(ω1，ω2)中的变量ω1，ω2的周期均为2π，且该函数为复变函数，通常在图像显示的时候，变量的取值范围为-π<ω1，ω2<π，原因在于变量存在周期性。

同样，可得出傅立叶反变换定义如下：

该函数表明其为不同频率的复指函数之和，幅度F(ω1，ω2)决定了不同的频率点(ω1，ω2)所做的贡献的多少。通常采用离散傅立叶变换作为处理傅立叶变换。我们采用快速傅立叶变换算法(FFT)来消除因傅立叶计算复杂、速度慢的缺点，且可以帮助解决在局部范围内的信号表达的特性，而快速傅立叶变换的设计思想是建立在原函数的奇数项和偶数项上，并通过奇、偶数项相加，得到所需要的结果。

通过对其函数进行分解，使变换中的某些计算可以共同或重复使用，从而提高了计算效率，这就是FFT的基本原理，但是他的计算量仍然很大。

FFT的定义为：

其中：p=0，1，…，M-1；q=0，1，...，N-1。

其中：m=0，1，…，M-1；n=0，1，...，N-1。

(1)、(2)傅立叶变换算法进行改进。

假设输入图像为f(x，y)，那么其频谱F(u，v)为：

式中，F(u，v)是复函数，其可用用相位和振幅的形式表示为：

在傅立叶变换算法改进后，使用MATLAB补零及改变图像象限，利用fft2(f，A，B)语句对被变换图像进行补零操作，通过图像进行比较，我们得出，改进的傅立叶变换算法应用后图像的分辨率更高、零频率分量也可以在图像中央区域显示。

在研究中，尝试只用频谱的振幅部分或者相位部分，将会产生不同的效果。利用频谱的振幅部分F1=|F(u，v)|，对以上公式进行变换，发现振幅完全发生变化，这说明了F1没有包含输入图像信息。利用相位部分F(u，v)，此时假设振幅为常数，即F2=A*exp[j(F(u，v))]，对以上公式进行变换，发现可以分辨输入图像的基本轮廓，再对F2进行逆变换，发现图像反转了，我们把此现象称为傅立叶变换的共轭特性。

(1)、(3)通过以上操作，对傅立叶变换的处理步骤总结如下：

第一步：将原始图像导入软件中；

第二步：利用傅立叶将原始图像变换，观察变换幅值的变化；

第三步：在补零区域输入区域大小A和B进行补零操作，观察结果；

第四步：利用移位操作进行变换，观察结果；

第五步：对图像进行傅立叶变换，观察相位谱的变化；

第六步：利用移位操作后的幅值图像进行反变换，观察结果；

第七步：利用图像傅立叶变换操作后的相位谱图像进行反变换，观察结果；

第八步：利用复共轭的傅立叶反变换，观察结果。

总之，传统的傅立叶变换算法存在分辨率低和零频率分量显示区域不在图像中央的问题，通过新的傅立叶变换算法后，在我们通过补零操作，改变图像显示象限和移位操作手段后可以提高变换后的幅值图像的分辨率，得到比较理想的效果。

[1]英英.基于MATLAB的图形图像处理系统的实现，内蒙古大学，2013.

[2]梁原.基于MATLAB的数字图像处理系统研究，长春理工大学，2008.

[3]旷尤毓.基于ARM和DSP的火灾预警系统的设计与实现，湖南大学，2008.