5～6岁儿童数字估计能力的干预研究

白璐++许晓晖

【摘要】研究者从5～6岁儿童在0～100数字线上的估计能力的表现入手，检验并比较三种干预方法对儿童数字估计能力的提升作用，以期充实国内外关于儿童早期数字估计能力的干预方法的理论，并为幼儿园教师针对数字估计能力较低儿童制订合适的活动方案提供相关教育建议。

【关键词】数字估计；估计模式；估计精度；干预训练

【中图分类号】G610 【文献标识码】A 【文章编号】1004-4604（2015）04-0045-08

数字估计（Numerical estimation）的加工过程，即以数字输入并以近似的量值输出的过程。例如，估计7×28 的值、数字50在数字线段中的位置、一个广口瓶中玻璃球的数量等。世界上很多国家在关于儿童数学教育的政策文件或研究报告中频频提及数字估计能力。相较于西方国家，我国对儿童数字估计能力的关注和研究起步较晚，研究成果较为缺乏。

如何提高儿童的数字估计能力，促进其数字估计模式的发展和数字估计准确率的提高？国外已有研究主要采取三类干预方法——数字估计反馈训练、数字分类训练和数字棋游戏。本研究综合分析了已有研究的实验效果，对其工具、程序进行了修订和完善，然后对在0～100数字线估计任务中采用对数表征模式的5～6岁儿童分别实施三种干预训练：特殊区域内的数字估计反馈训练、数字分类训练和曲线形数字/颜色棋游戏，检验并比较每种干预方法对儿童数字估计能力的提升作用，以此来判断干预效果。基于研究结果，研究者为幼儿园教师针对数字估计能力较低的儿童制订合适的课程活动方案提供了相关建议。

一、实验1

（一）目的

考察5～6岁儿童对28个数字在25cm长的0～100数字线上的估计表现，确定0～100数字估计的对数表征模式与线性表征模式之间的最大差异。

（二）被试

在北京市海淀区选取两所幼儿园，各随机整体抽取2个大班，共140名5～6岁儿童。本研究根据周广东等人（2009）提出的“为保证得到5～6岁儿童在自然常规发展状态下的数字估计数据，在被试选择方面，应排除参加过各种数学兴趣班的儿童”的观点，〔1〕最终确定被试共90名，男女各半，平均年龄为5.51岁。

（三）实验方法

让被试在一端为数字0，另一端为数字100的线段上估计出刺激数字的位置。刺激数字共有28个——3， 4， 6， 8， 12， 14， 17， 18， 21， 23， 26， 28， 31， 33， 37， 39， 42， 48， 52， 57， 61， 64， 72， 79， 81， 84， 90和96，随机呈现。

（四）实验结果

1.数字估计模式

以刺激数字的数值为自变量，以所有被试对每个刺激数字的估计中值为因变量，对其数字估计模式进行对数和线性的曲线函数拟合，得到相应的拟合度。所有被试的数字估计与对数函数和线性函数的拟合度分别为R2log=0.948，R2lin=0.878。

为进一步考察所有被试在0～100数字线估计任务中所倾向的表征模式，对由对数拟合函数和线性拟合函数中所得出的预测值进行差异检验，即对所有被试对每个刺激数字的估计中值与两种函数预测值的差的绝对值（|估计中值-函数预测值|）进行配对样本t检验。结果表明，这一年龄阶段的儿童在0～100数字线估计任务中所倾向的表征模式接近对数函数而非线性函数，t（27）=-2.258，p=0.032<0.05。详见图1。

以刺激数字的数值为自变量，以每名被试对所有刺激数字的估计值为因变量，对其数字估计模式进行对数和线性的曲线函数拟合，得到相应的拟合度（R2），从而确定被试在个体层面上是否都达到了群体层面上的表征模式阶段。

统计分析表明，在0～100数字线估计任务中，有18名被试的数字估计与线性函数的拟合度高于与对数函数的拟合度，占被试总人数的20%。换言之，仍处于对数表征模式阶段的被试占总人数的80%。

2.数字估计的准确率

绝对误差百分比（Percent absolute error， PAE）可被用以描述数字估计的准确率。绝对误差百分比=|估计值-正确值|÷被估计的数字范围。其值越小，表示数字估计的准确率越高；其值越大，表示数字估计的准确率越低。在0～100数字线估计任务中，所有被试数字估计的平均绝对误差百分比为11.9%，标准差为0.026。

在0～100数字线估计任务中，男孩和女孩在0～100数字线估计任务中的准确率处在同一水平（PAE男孩=11.8%，PAE女孩=11.9%，t（88）=-0.227，p=0.821）。详见图2。

3.0～100数字估计的对数表征和线性表征间的差异

由图3可知，0～100数字估计的对数表征模式与线性表征模式之间的最大差异在数字16处，最大差异所在的区域为7～31。

二、实验2

（一）目的

基于实验1的测查结果，将其中在0～100数字线估计任务中采用对数表征模式的5～6岁儿童随机均分为三组，第一组接受特殊区域内的数字估计反馈训练，第二组接受数字分类训练，第三组开展曲线形数字/颜色棋游戏，再将每一组随机均分为实验组和控制组。以被试在实验1中0～100数字线上的估计表现为前测，干预之后以同样的任务进行测查，作为后测，分别检验每种干预方法是否能够显著提高儿童的数字估计能力，同时比较三种干预方法的作用大小。

（二）被试

实验1中在0～100数字线估计任务中采用对数表征模式的5～6岁儿童，共72名，男女各半，平均年龄为5.56岁。将被试随机均分为三组，每组24名，男女各半，采用不同的干预方法。每组再随机均分为实验组和控制组。

（三）实验方法

1.特殊区域内的数字估计反馈训练

根据实验1得出的0～100数字估计的对数表征模式与线性表征模式之间的最大差异在区域7～31这一结论，研究者将这一区域作为刺激来源，对被试进行这一区域内的数字估计训练。实验组被试画出位置后给予反馈，控制组被试画出位置后不给反馈，以此引发实验组被试的认知冲突，拓宽线性表征模式的适用情境，提高数字估计与线性函数的拟合度和数字估计的准确率。

2.数字分类训练

对所有被估计的数字（0～100）进行主观分类，让被试获得有关这些数字的新的信息（非常小：1～20，小：21～40，中等：41～60，大：61～80，非常大：81～100），以此来简化估计任务，帮助被试更为准确地判断某个数字在数字线上的位置。主试对实验组被试的数字分类正确与否给予反馈，对控制组被试的数字分类正确与否不给反馈。

3.曲线形数字/颜色棋游戏

这是一种下棋游戏，棋盘主体为一个弯曲的“矩形”，“矩形”中均匀分割出101个大小相等，颜色按红-蓝-黄-绿-白模式排列的方格子。实验组被试接受曲线形数字棋游戏的干预，其棋盘格子内印有数字0～100；控制组被试也接受曲线形颜色棋游戏的干预，但其棋盘格子内没有数字。在每轮游戏开始前，主试告诉被试，他们要轮流投掷骰子，并根据骰子上标示的数字来挪动棋子，谁最先达到终点谁就赢得比赛。

4.0～100数字线估计任务（后测）

实验方法同前测，即实验1。

（四）实验结果

1.特殊区域内的数字估计反馈训练下的5～6岁儿童数字估计能力发展

（1）数字估计模式

实验组被试在接受有反馈的干预训练之后，群体层面上数字估计的表征模式由对数函数转为线性函数（前测：R2log=0.944，R2lin=0.871，t（27）=-2.130，p=0.042<0.05；后测：R2log=0.791，R2lin=0.966，t（27）=5.296，p<0.001）；控制组被试在接受无反馈的干预训练之后，群体层面上数字估计的表征模式也向线性函数转变，但仍保留部分对数函数特征（前测：R2log=0.946，R2lin=0.863，t（27）=-2.499，p=0.019<0.05；后测：R2log=0.937，R2lin=0.887，t（27）=-1.536，p=0.136>.05）。详见图4、图5。

在前测中，每名被试，包括实验组和控制组的被试，都采用对数函数表征模式，这与两组儿童在群体层面上的表现相一致。

在后测中，实验组被试个体层面上数字估计的表征模式都由对数转为线性，与群体层面上的表现相一致；控制组被试个体层面上数字估计的表征模式仍停留在对数阶段，但其中每名被试的数字估计与对数函数的拟合度都有所下降，而与线性函数的拟合度都有所上升，所以在群体层面上出现数字估计的表征模式在向线性转变，但仍保留部分对数特征。

（2）数字估计的准确率

在前测中，两组被试的准确率处在同一水平（PAE实验组=13.1%，PAE控制组=13.1%，t（22）=0.074，p=0.941）。在后测中，实验组被试准确率水平较前测有明显提升（PAE前测=13.1%，PAE后测=5.2%，t（14）=26.948，p<0.001）；控制组被试准确率仍与前测水平相当（PAE前测=13.1%，PAE后测=12.7%，t（22）=2.387，p=0.226）；实验组被试在后测中的准确率水平远远超过控制组被试（PAE实验组=5.2%，PAE控制组=12.7%，t（22）=-24.246，p<0.001）。

可见，特殊区域内的数字估计反馈训练能够有效提升5～6岁儿童的0～100数字估计与线性函数的拟合度，降低其与对数函数的拟合度；同时能够降低数字估计的绝对误差百分比，即提升数字估计的准确率。

2.数字分类训练下的5～6岁儿童数字估计能力发展

（1）数字估计模式

实验组被试群体层面上数字估计的表征模式由对数函数转为线性函数（前测：R2log=0.944，R2lin=0.859，t（27）=-2.320，p=0.028<0.05；后测：R2log=0.822，R2lin=0.971，t（27）=6.058，p<0.001）；控制组被试群体层面上数字估计的表征模式仍拟合对数函数（前测：R2log=0.949，R2lin=0.876，t（27）=-2.339，p=0.027<0.05；后测：R2log=0.944，R2lin=0.880，t（27）=-2.207，p=0.036<0.05）。详见图6、图7。

在前测中，每名被试，包括实验组和控制组被试，都采用对数函数表征模式，这与两组儿童在群体层面上的表现相一致。

在后测中，实验组被试个体层面上数字估计的表征模式都由对数转为线性，与群体层面上的表现相一致；控制组被试个体层面上数字估计的表征模式仍停留于对数阶段，与群体层面上的表现相一致。

（2）数字估计的准确率

在前测中，两组被试的准确率处在同一水平（PAE实验组=13.1%，PAE控制组=13.1%，t（22）=0.167，p=0.869）。在后测中，实验组被试准确率水平较前测有明显提升（PAE前测=13.1%，PAE后测=5.2%，t（22）=37.071，p<0.001）；控制组被试准确率仍与前测水平相当（PAE前测=13.1%，PAE后测=12.9%，t（22）=1.168，p=0.255）；实验组被试在后测中的准确率水平远远超过控制组被试（PAE实验组=5.2%，PAE控制组=12.9%，t（22）=-42.275，p<0.001）。

可见，数字分类训练能够明显促进5～6岁儿童在0～100数字线估计任务中拟合线性函数，而非对数函数；同时能够明显改善其数字估计的绝对误差百分比，即提升数字估计的准确率。

3.曲线形数字/颜色棋游戏下的5～6岁儿童数字估计能力发展

（1）数字估计模式

实验组被试在接受曲线形数字棋游戏的干预训练之后，群体层面上数字估计的表征模式由对数函数转为线性函数（前测：R2log=0.947，R2lin=0.872，t（27）=-2.377，p=0.025<0.05；后测：R2log=0.788，R2lin=0.944，t（27）=3.974，p<0.001）；控制组被试在接受曲线形颜色棋游戏的干预训练之后，群体层面上数字估计的表征模式也在向线性函数转变，但仍保留部分对数函数特征（前测：R2log=0.947，R2lin=0.868，t（27）=-2.220，p=.035<0.05；后测：R2log=0.941，R2lin=0.867，t（27）=-2.005，p=0.055>0.05）。见图8、图9。

在前测中，每名被试，包括实验组和控制组被试，都采用对数函数表征模式，这与两组儿童在群体层面上的表现相一致。

在后测中，实验组被试个体层面上数字估计的表征模式都由对数转为线性，与群体层面上的表现相一致；控制组被试个体层面上数字估计的表征模式仍停留于对数阶段，但其中的每名被试的数字估计与对数函数的拟合度都有所下降，而与线性函数的拟合度都有所上升，所以在群体层面上出现数字估计的表征模式在向线性转变，但仍保留部分对数特征。

（2）数字估计的准确率

在前测中，两组被试的准确率处在同一水平（PAE实验组=13.1%，PAE控制组=13.1%，t（22）=-0.054，p=0.941）。在后测中，实验组被试准确率水平较前测有明显提升（PAE前测=13.1%，PAE后测=6.9%，t（22）=25.994，p<0.001）；控制组被试准确率仍与前测水平相当（PAE前测=13.1%，PAE后测=12.8%，t（15）=1.647，p=0.120）；实验组被试在后测中的准确率水平远远超过控制组被试（PAE实验组=6.9%，PAE控制组=12.8%，t（14）=-31.049，p=0.002<.01）。

可见，曲线形数字/颜色棋游戏能够促使5～6岁儿童在0～100数字线估计任务（后测）中与线性函数的拟合度远远高于前测，与对数函数的拟合度远远低于前测；能够促使其数字估计的绝对误差百分比远远低于前测，也就是提升了数字估计准确率。

4.三种干预方法下5～6岁儿童数字估计能力发展的比较结果

比较三种干预方法下实验组被试在前后测中数字估计模式和数字估计准确率的变化情况，以判断三种干预方法的作用。

（1）数字估计模式

接受特殊区域内的数字估计反馈训练或数字分类训练的实验组被试与接受曲线形数字/颜色棋游戏的实验组被试相比，其在后测中所倾向的表征模式较前测都由对数函数转向线性函数；而接受特殊区域内的数字估计反馈训练的实验组被试和接受数字分类训练的实验组被试，其后测中所倾向的表征模式较前测由对数函数转向线性函数的程度相当。

（2）数字估计的准确率

接受特殊区域内的数字估计反馈训练或数字分类训练的实验组被试与接受曲线形数字/颜色棋游戏的实验组被试相比，其后测的准确率水平较前测都有更为大幅度的提升；而接受特殊区域内的数字估计反馈训练的实验组被试和接受数字分类训练的实验组被试，其后测的准确率水平较前测的提升幅度相当。

综合数字估计模式和数字估计的准确率两个变量，相较于曲线形数字/颜色棋游戏，特殊区域内的数字估计反馈训练和数字分类训练在提高5～6岁儿童的数字估计能力方面作用显著，而且这两种干预方法之间不存在差异。

三、讨论

（一）5～6岁儿童数字估计模式和数字估计准确率的发展特点

本研究中，从群体层面上来说，5～6岁儿童在0～100数字线估计任务中所倾向的表征模式比较接近对数函数而偏离线性函数；从个体层面上来说，5～6岁儿童在0～100数字线估计任务中已能采用线性表征模式的人数比例为20%，仍处于对数表征模式阶段的人数比例为80%。这与被试的平均年龄偏低有关，也与排除了参加过各种数学兴趣班的儿童有关。

（二）三种干预方法的实验效果

1.特殊区域内的数字估计反馈训练

这种训练使得儿童在仍要采用对数表征模式的数字线估计任务与已能采用线性表征模式的数字线估计任务之间发生了类比迁移（Nalogical transfer）。〔2〕以对数表征模式与线性表征模式之间的最大差异所在区域为刺激来源，对儿童进行估计训练，并给予反馈，引发了其认知冲突，有效拓宽了儿童的线性表征模式适用情境，提高了儿童的数字估计与线性函数的拟合度和数字估计的准确率。

2.数字分类训练

数字分类训练的实验效果说明对儿童数字分类的反馈不仅会提高他们在数字分类方面的水平，而且会提高他们在其他数字认知方面的水平。经过训练，5～6岁儿童所获得的数字分类经验——把0～100的数字等分为五组，明确感知到了五组数字在数量大小上的差异——使得他们在0～100数字线估计任务（后测）中所倾向的表征模式更接近线性函数。

3.曲线形数字/颜色棋游戏

曲线形数字/颜色棋游戏提高了儿童数数和识数的水平，提高了儿童对数字顺序和数量大小的认知能力。儿童挪动棋子所走的格子数字越大，其感知到的距离就越长，说出格子上所标示的数字就越多，听到的数字也越多。这些视觉空间上的、肌肉运动知觉上的和听觉上所收到的数数和识数的信号为儿童认知数字顺序和数量大小提供了丰富的刺激。儿童由此获得了早期中心数概念结构，〔3，4〕形成了更为高级和成熟的线性表征模式。

（三）三种干预方法的实验效果比较分析

为什么曲线形数字/颜色棋游戏的干预效果不如特殊区域内的数字估计反馈训练和数字分类训练？原因有二。一是后两种方法都对0～100内不同数字所代表的数量之间的大小关系有明确的界定。曲线形数字/颜色棋游戏虽也是针对0～100内所有数字进行的训练，让被试对每一数字所代表的数量大小有所感知，但这并不等于界定了不同数字所代表的数量之间的大小关系。二是儿童在数字呈曲线形排列的棋盘上所获得的每一个数字所占的位置大小以及两两数字间的距离都相等的经验，因棋盘形状与数字线的线形形状不符（棋盘上的数字呈曲线形排列、数字线上的数字呈直线形排列），而在迁移过程中产生了一定的理解难度。

四、教育建议

第一，虽然已有研究表明，我国儿童在数学各方面能力的发展整体上要优于许多西方发达国家的儿童，但单就数字估计能力而言，我国5～6岁儿童数字估计的线性表征模式适用情境还有一定的扩展空间。因此，在学前教育中，加强对我国5～6岁儿童的数字干预训练、提高他们的数字估计能力，进而促进其数学各方面能力的发展，是十分必要的。若以数字线估计任务来衡量儿童的数字估计能力，那么使其数字估计更为拟合线性函数是提高其数字估计能力的关键。

第二，创设故事或游戏背景，让儿童在玩中学，有利于其对数字知识的掌握。比如，数字分类训练可以以“熊妈妈给熊宝宝分硬币”的游戏进行。游戏方案可以设计为：熊妈妈有5个熊宝宝，他们中有一个个头很小很小，有一个个头比较小，但比前一个大些，还有一个个头中等，还有一个个头比较大，最后一个个头很大很大。熊宝宝只要帮熊妈妈打扫房间，就会得到0～100个硬币作为奖励。为公平起见，每次熊妈妈是按照熊宝宝的个头来发硬币的：最小的熊宝宝能得到10个硬币；小一些的熊宝宝能得到30个硬币，这个硬币数比前一个要多一些；个头中等的熊宝宝能得到50个硬币，这个硬币数是中等的；稍大的熊宝宝能得到70个硬币，这个硬币数就比较大了；最大的熊宝宝能得到90个硬币，这个硬币数是最大的。在游戏中，可请儿童帮助熊妈妈给每个熊宝宝分硬币，例如，给儿童一些数字卡片，卡片上的数字代表要给熊宝宝的硬币数，请儿童把每张卡片正确地放到熊宝宝的盒子里。

参考文献：

〔1〕周广东，莫雷，温红博.儿童数字估计的表征模式与发展〔J〕.心理发展与教育，2009，（4）：21-29.

〔2〕OPFER J E，SIEGLER R S.Representational change and childrens numerical estimation〔J〕.Cognitive Psychology，2007，55：169-195.

〔3〕CASE R，GRIFFIN S.Child cognitive development：The role of central conceptual structures in the development of scientific and social thought〔M〕//C A HAUERT.（eds.） Developmental psychology：Cognitive，perceptuo-motor，and neuropsychological perspectives. Amsterdam： Elsevier Science， 1990：38-55.

〔4〕CASE R，OKAMOTO Y.The role of central conceptual structures in the development of childrens thought〔J〕.Monographs of the Society for Research in Child Development，1996，61.