弹性碰撞问题的“抽丝剥茧”

杨习志

摘 要：本文通过一定的数学技巧以及对称性思想对弹性碰撞问题进行求解，并由一解变换得到各种类型的碰撞问题，然后深入探讨弹性碰撞所应满足的相关条件，由此将困难而复杂的弹性碰撞问题逐层瓦解。

关键词：弹性碰撞；求解技巧；求解条件

中图分类号：G633.7 文献标识码：A 文章编号：1003-6148（2015）5-0045-2

弹性碰撞问题在动量守恒的运用中是比较复杂也比较难的一类问题。比如，动量守恒定律与机械能守恒定律方程的联立求解问题对于中学生来说确实是难度比较大的问题，碰撞前后的条件也是比较容易忽略和难以判断的问题。但不管有多复杂，只要抓住其特点并能灵活运用就能将很多问题简化，做到随机应变。

1 弹性碰撞问题的求解

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图1 m1与m2发生弹性碰撞

如图1所示，考虑两个刚性小球，质量分别为m1与m2，碰撞前的速度分别为v1与v2，碰撞后的速度分别为v'1与v'2，根据动量守恒与机械能守恒可列出方程如下：

m1v1+m2v2=m1v'1+m2v'2（1）

■m1v■■+■m2v■■=■m1v■■+■m2v■■（2）

这两个方程若直接带入求解会非常的困难，可将其作如下变形：

m1（v1-v'1）=m2（v'2-v2）（3）

m1（v1-v'1）（v1+v'1）=m2（v'2-v2）（v'2+v2）（4）

然后把（3）代入（4）中可求解得：

v'1=■（5）

此时，v'2根本不需要再求，因为两个小球是完全相同的，没有任何一个是特殊的，故v'2与v'1没有任何区别，只需将“1”与“2”交换，即：

v'2=■（6）

由于求解的困难，一般不建议学生在考试时临时去求解，而是记住结果。但记结果也是有技巧的，其实所有弹性碰撞的求解只需要记住公式（5），其他的结果可完全由公式（5）变换出来，例如：

情形1：v1与v2同向，则将（5）式中的“1”与“2”交换可得：

v'1=■（7）

v'2=■（8）

情形2：v1与v2反向，则将（7）（8）式中的v2写成负值可得：

v'1=■（9）

v'2=■（10）

情形3：v1不为零而v2等于零，则将（7）（8）式中的v2取为零可得：

v'1=■（11）

v'2=■（12）

例1 （2010全国）小球A和B的质量分别为mA和mB，且 mA >mB，在某高度处将A和B先后从静止释放，小球A与水平面碰撞后向上弹回，在释放处下方与释放处距离为H的地方恰好与正在下落的小球B发生正碰，设所有碰撞都是弹性的，碰撞时间极短，求小球A、B碰撞后B上升的最大高度。

解析 由题目知A、B两球碰前速度等大反向，设碰前速度为v0，碰后速度为v'A与v'B，则根据碰撞过程中动量守恒和机械能守恒有

mAv0+mB（-v0）=mAv'A+mBv'B（13）

■mAv■■+■mBv■■=■mAv■■+■mBv■■（14）

（13）（14）式的解法属“情形2”，故由公式（10）可得

v'B=■（15）

再由牛顿运动定律相关知识2gH=v■■与2gh=v■■，可解得h= （■）2H。

例2 （2007全国）用放射源钋的α射线轰击铍时，能发射出一种穿透力极强的中性射线，这就是所谓铍“辐射”。1932年，查德威克用铍“辐射”分别照射（轰击）氢和氮（它们可视为处于静止状态），测得照射后沿铍“辐射”方向高速运动的氢核和氮核的速度之比为7。查德威克假设铍“辐射”是由一种质量不为零的中性粒子构成的，从而通过上述实验在历史上首次发现了中子。假设铍“辐射”中的中性粒子与氢核或氮核发生弹性正碰，试在不考虑相对论效应的条件下计算构成铍“辐射”的中性粒子的质量。（质量用原子质量单位u表示，1 u等于1个12C原子质量的十二分之一。取氢核和氦核的质量分别为1 u和14 u。）

解析 碰撞过程中动量守恒与机械能守恒，有：

mv0=mHvH+mv1（16）

■mv■■=■mHv■■+■mv■■（17）

mv0=mNvN+mv2（18）

■mv■■=■mNv■■+■mv■■（19）

■=■（20）

mH=1 u（21）

mN=14 u（22）

（16）（17）与（18）（19）的解法属“情形3”，由式（12）得：

v'■=■（23）

v'■=■（24）

再由（21）（22）（23）（24）（25）式解得

m=1.2 u。

2 弹性碰撞问题的条件

考虑图1所示的两个小球，发生弹性碰撞，则需要条件①v1>v2；碰后各自做匀速直线运动且不可能再碰，故需要条件②v'10。

例3 甲、乙两球在光滑水平轨道上同向运动，已知它们的动量分别是5 kg·m/s和7 kg·m/s，甲追上乙并发生碰撞，碰撞后乙球的动量变为10 kg·m/s，则两球质量m甲与m乙的关系可能是（ ）

A.m甲=m乙 B.2m甲=m乙

C.4m甲=m乙 D.6m甲=m乙

解析 由条件①v1>v2可得m乙>1.4m甲，条件②v'1

例4 在光滑水平面上，有甲、乙两个小球向右沿同一直线运动，取向右为正，两球的动量分别是P甲=5 kg·m/s，P乙=7 kg·m/s，如图2所示。若能发生正碰，则碰后两球的动量增量ΔP甲、ΔP乙可能是（ ）

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图2 碰撞图

A.ΔP甲=-3 kg·m/s；ΔP乙=3 kg·m/s

B.ΔP甲=3 kg·m/s；ΔP乙=3 kg·m/s

C.ΔP甲=-10 kg·m/s；ΔP乙=10 kg·m/s

D.ΔP甲=3 kg·m/s；ΔP乙=-3 kg·m/s

解析 由条件⑤ΔP1<0和⑥ΔP2>0可排除A、D选项，再由条件④可排除C选项，故选A选项。

综上所述，只要记住弹性碰撞的求解通式v'1=■以及六个条件，稍加分析与变化，就能处理各种类型的弹性碰撞问题。

（栏目编辑 陈 洁）