球壳在带电与不带电两种情况下所呈现的两个类似性质

周一恒++王金聚

摘 要：本文采用“微元法”证明了球壳在带电和不带电两种情况下两个相似的结论，并且举例说明了这两个结论的广泛应用。

关键词：均质球壳；均匀带电球壳；壳内引力的矢量和

中图分类号：G633.7 文献标识码：A 文章编号：1003-6148（2015）5-0042-2

1 均质球壳

均质球壳，顾名思义，就是指质量分布均匀的球壳，对这样的质量分布均匀且厚度处处相同的球壳而言，有如下一条重要的结论：

结论1：厚度均匀的均质球壳对其空腔内任一质点的引力的矢量和为零。

下面我们采用“微元法”证明上述这一结论：

如图1所示，将球壳看成是由许许多多半径不等的同心“球皮”叠加而成，每一层球皮的厚度d都足够小。以壳内任一点P为顶点，任作一对顶角很小的对顶的小圆锥体，圆锥体在最外层球皮上截取的面积分别记为△S1、△S2。圆锥体的轴线为O1O2，与最外层球皮交于O1、O2两点，小圆锥体又将诸层球皮分割成许许多多个小体积元。图中的阴影ABDC部分就是最外层球皮上被截取的小体积元的截面图。

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图1 球壳内取对顶小圆锥体

连接OO1、OO2，则△OO1O2为等腰三角形。设两底角的角度为α，小圆锥体的顶角为θ，PO1=r1，过O1点作一与轴线O1O2垂直的平面，则面积元△S1在该平面上的投影为△S1cosα。该投影的形状为一圆面，圆面的直径近似为r1θ（θ单位：弧度）。所以，圆的面积也可以写成■π（r1θ）2，即

△S1cosα=■π（r1θ）2。

把球皮ABDC的体积记为△V1，则△V1=△S1d=■，设球壳的密度为ρ，则该体积元的质量为： Δm1=■。

设P处放置一质量为m的质点，则它受到体积元△m1的引力大小为：

ΔF1=G■=■=■。

同理，与体积元△m1关于P点相对的另一体积元△m2对质点P的引力大小为：

ΔF2=G■=■=■，

∴△F1=△F2。

由于二者方向相反，故二体积元△m1、△m2对质点P的引力的矢量和为零。

推而广之，由于任意一对关于P点对应的体积元对P处质点的引力之和都为零，所以整个厚度均匀的均质球壳对其空腔内任一质点的引力为零，命题得证。

上述结论常常用于讨论球类的引力问题，下面我们用它来讨论一下地球内、外的重力加速度随高度变化的情况。

假定地球的密度是均匀的，在地球内部距地心r处的重力加速度设为g，根据上述的结论——其外部球壳对r处质点的引力之和为零。所以有■=mg，Mr是半径为r的内部中心球体的质量。

将Mr=ρ·■πr3代入上式得g=■·r，这说明在地球内部g与r成正比。

接下来我们再讨论一下地表之上的重力加速度随高度变化的情况：

同样假定地球的密度ρ是均匀的，设地球的半径为R，地表之上距地心r处的重力加速度为g，由万有引力定律得■=mg，将M=ρ·■πR3代入上式得g=■·■∝■。

设地表处的重力加速度为g0，由■=mg0，

得g0=■。

式中万有引力常量G=6.67×10-11 N·m2/kg2，地球质量M=5.98×1024 kg， 地球的平均半径R=6.37×106 m，所以，可以求得地球表面的重力加速度为：g0=■ m/s2=9.82 m/s2。

综上所述，地球内外的重力加速度g随距地心的距离r的变化如图2所示：

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图2 地球内外重力加速度与距地心r的关系

2 均匀带电球壳

若球壳的厚度均匀且所带电荷的分布也均匀，则有如下的一条类似结论：

结论2：厚度均匀的均匀带电球壳对壳内任一点电荷的库仑力的矢量和为零。

由于库仑定律与万有引力定律的表达式F=k■、F=G■的极度相似性，所以我们采用与结论1的证明完全类似的方法，可以顺利得出上述结论2，此处不再赘述。结论2在讨论带电球或者球壳类的问题时同样应用广泛。

例 有一个均匀的带电球体，球心在O点，半径为R，电荷体密度为ρ。球体内有一个球形空腔，空腔球心在O′点，半径为R′，OO'=a。如图3所示，试求空腔中各点的场强。

解析：这里要用到正、负电荷叠加的思想。

将该空心球看成是完整的带正电的实心大球与空腔处带负电的实心小球的叠加体，且大球与小球所带电荷的体密度相等，则在空腔处正负电荷叠加的结果仍然是电中性的，相当于空腔内不带电。

对于空腔中任意一点P，设OP=r1，O'P=r2，则带正电的大球在P点激发的场强仅由半径为r1的球内电荷所决定。场强的大小为E■=k■=■kρπr■，方向由O指向P。

同理，虚拟的带负电的“小球”在P点所激发的场强为：E2=k■=■kρπr■，方向由P指向O′。

E1和E2的矢量合成遵从平行四边形法则，合矢量EP的方向如图3所示。

所以，EP=■E■=■kρπa 。

Ep的方向沿O → O′。显然，由于P点的任意性，空腔内各点的场强大小都是■kρπa，方向均沿O → O′，即空腔里的电场是匀强电场，电场线如图4所示。

参考文献：

[1]王金聚.谈谈对球类问题的求解[J].物理教学探讨，2005，（5）：13.

[2]王朝银，等. 2012步步高大一轮复习讲义[M].哈尔滨：黑龙江教育出版社，2011.（栏目编辑 罗琬华）