要善于发现身边的数学问题

司志本��

数学无处不在，此话不假.只要你稍加留心就可以发现，我们身边的许多事物，都与数学有关，或者说都能给出数学的解释.实际上，从一些事物中提出数学问题，不仅可以训练我们的数感，而且还可以提高我们的思维能力.本文选取两个问题进行说明.1电梯里的数学问题

随着我国经济的飞速发展，人们的生活水平在不断提高.就居住条件而言，与前些年相比，可以说发生了翻天覆地的变化，即使不很发达的城镇，现在也是高楼林立，鳞次栉比.住在装有电梯的高楼里，在每天若干次的上楼下楼的过程中，你想过没有，在这狭窄的电梯里，有许多值得我们思考的数学问题.

例1（上楼问题）有一栋高为27层的高层住宅楼，假设电梯上升和下降都是匀速的，速度都是2秒/每层.要想从任何一层（顶楼27层除外）乘电梯上到另外的任何一层，一共有多少种选择方案？

分析为了叙述方便，我们把上电梯的楼层说成“走进电梯”的楼层，把到达的楼层说成“走出电梯”的楼层.

从1楼“走进电梯”，可以从2楼到27楼中的任何一层“走出电梯”，一共有26种选择方案；同样的道理，从2楼“走进电梯”，可以从3楼到27楼中的任何一层“走出电梯”，一共有25种选择方案；依此类推，当从26楼“走进电梯”时，只能从27楼“走出电梯”，即只有1种选择方案.因为

26+25+24+…+1=26+12×26=351.

所以，要想从这栋楼的任何一层乘电梯上到另外的任何一层

一共有351种选择方案.

例2（上楼用时问题）在“上楼问题”中，如果实现所有的上楼方案，那么一共需要多长时间（走进楼梯和走出楼梯的时间忽略不计）？

分析第一类情况：从1楼“走进电梯”.从1楼“走进电梯”，可以从2楼到27楼中的任何一层“走出电梯”.

从1楼“走进电梯”，从2楼“走出电梯”，经过1层楼，用时2秒；

从1楼“走进电梯”，从3楼“走出电梯”，经过2层楼，用时2×2=4秒；

从1楼“走进电梯”，从4楼“走出电梯”，经过3层楼，用时2×3=6秒；

以此类推，从1楼“走进电梯”，从27楼“走出电梯”，经过26层楼，用时2×26=52秒.

所以，对于从1楼“走进电梯”这一类情况，一共用时

2（1+2+3+…+26）=2×26+12×26=27×26=702（秒）.

第二类情况：从2楼“走进电梯”.从2楼“走进电梯”，可以从3楼到27楼中的任何一层“走出电梯”.

从2楼“走进电梯”，从3楼“走出电梯”，经过1层楼，用时2秒；

从2楼“走进电梯”，从4楼“走出电梯”，经过2层楼，用时2×2=4秒；

从2楼“走进电梯”，从5楼“走出电梯”，经过3层楼，用时2×3=6秒；

依此类推，从2楼“走进电梯”，从27楼“走出电梯”，经过25层楼，用时2×25=50秒.

所以，对于从2楼“走进电梯”这一类情况，一共用时

2（1+2+3+…+25）=2×25+12×25=26×25=650（秒）.

同理可得，对于从3楼“走进电梯”这一类情况，一共用时

2（1+2+3+…+24）=2×24+12×24=25×24=600（秒）.

对于从4楼“走进电梯”这一类情况，一共用时

2（1+2+3+…+23）=2×23+12×23=24×23=552（秒）.

…….

对于从26楼“走进电梯”这一类情况，一共用时2×1=2（秒）.

所以，如果实现所有的上楼方案，一共需要

27×26+26×25+25×24+…+3×2+2×1=6552（1）

秒的时间.

关于（1）式的计算，待同学们学过排列组合知识以后，可以很容易计算出来.在此同学们不妨思考一下，你能用所学的知识求出这个和吗？

仿照上面的讨论，还可以提出类似的“下楼问题”及“下楼用时问题”，请读者自行讨论.2“2048”游戏中的运算问题

手机上有一个叫“2048”的游戏.游戏规则是这样的：沿着水平方向或铅直方向滑动手机显示屏，会出现若干个2.若出现两个2水平相邻，则横向滑动显示屏，两个2变成一个4（这相当于做一个加法运算：2+2=4），若出现两个2铅直相邻，则竖向滑动显示屏，两个2也变成一个4；显示屏出现4以后，若出现两个4水平相邻，则横向滑动显示屏，两个4变成一个8（这相当于做一个加法运算：4+4=8），若出现两个4铅直相邻，则竖向滑动显示屏，两个4也变成一个8；以此类推，若出现两个1024水平相邻，则横向滑动显示屏，两个1024变成一个2048（这相当于做一个加法运算：1024+1024=2048），若出現两个1024铅直相邻，则竖向滑动显示屏，两个1024也变成一个2048.出现一个2048以后，游戏结束.这就是所谓的“2048”的游戏.

至于这个游戏对开发人们的智力，训练人们的思维能力有多少益处，我们暂且不论.我们提出的问题是：要想完成这个游戏，即在显示屏上出现一个2048这个数，至少需要多少次运算？

我们先列出下列事实：

一个2048由两个1024构成，即需要一个算式：1024+1024=2048；

一个1024由两个562构成，即需要一个算式：512+512=1024；

一个512由两个256构成，即需要一个算式：256+256=512；

一个256由两个128构成，即需要一个算式：128+128=256；

一个128由两个64构成，即需要一个算式：64+64=128；

一个64由两个32构成，即需要一个算式：32+32=64；

一个32由两个16构成，即需要一个算式：16+16=32；

一个16由两个8构成，即需要一个算式：8+8=16；

一个8由两个4构成，即需要一个算式：4+4=8；

一个4由两个2构成，即需要一个算式：2+2=4.

现在我们讨论一下上面的每一个算式出现的次数.

算式1024+1024=2048只要出现1次，就完成了这个游戏，所以，算式1024+1024=2048只出现1次；

因为算式1024+1024=2048需要2个1024，所以，算式512+512=1024需要出现2次；

同理，算式256+256=512需要出现22=4次；

算式128+128=256需要出现23=8次；

算式64+64=128需要出现24=16次；

算式32+32=64需要出现24=32次；

算式16+16=32需要出现25=64次；

算式8+8=16需要出现26=128次；

算式4+4=8需要出现27=256次；

算式2+2=4需要出现28=512次；

由此不难得出，要想完成“2048”这个游戏，至少需要出现的算式个数为

1+2+22+23+24+…+28

=1+2+4+8+16+32+64+128+256+512

=1023.

数学来源于生活，运用于生活.在我们的日常生活中，数学无处不在，只要我们善于观察、善于思考，就可以随时随地提出一些数学问题，并能够运用我们所掌握的知识和方法解决一些问题.养成这样的良好习惯，对于提高我们分析问题和解决问题的能力是十分有益的.作者简介司志本，男，1959年11月生，河北兴隆人，教授.主要从事数学教学和研究工作.曾先后被授予河北省优秀教师、国家曾宪梓教育基金会教师奖；有150余篇数学论文在《中学数学杂志》等十多种杂志上公开发表；主编或参编了9部数学及相关书籍.