两个三角形对偶恒等式

董林

近日，笔者发现了涉及三角形各边上的高及旁切圆半径的两个对偶恒等式.

定理 在△ABC中，a，b，c分别为其三边长，R，r分别是它的外接圆半径和内切圆半径，ra，rb，rc 分别为三边上的旁切圆半径，ha，hb，hc 分别为三边上的高.则有：

（1）hbhcra+hcharb+hahbrc=2rR（ra+rb+rc）;

（2）rbrcha+rcrahb+rarbhc=ra+rb+rc.

证明 设Δ，p分别是△ABC的面积和半周长.

（1）由ha=2Δa，hb=2Δb，hc=2Δc，ra=Δp-a，rb=Δp-b，rc=Δp-c得

hbhcra+hcharb+hahbrc

=4Δ（p-abc+p-bca+p-cab）

=4Δabc[a（p-a）+b（p-b）+c（p-c）]

=4Δabc[p（a+b+c）-（a2+b2+c2）]

=4Δabc[2p2-（a2+b2+c2）]

=4Δabc[-2p2+（a+b+c）2-（a2+b2+c2）]

=8Δabc[-p2+（ab+bc+ca）].

又由abc=4RΔ，Δ=rp及海伦-秦九韶公式Δ=p（p-a）（p-b）（p-c）得

2rR（ra+rb+rc）

=8Δ2abcp（Δp-a+Δp-b+Δp-c）

=8Δ3[（p-b）（p-c）+（p-c）（p-a）+（p-a）（p-b）]abcp（p-a）（p-b）（p-c）

=8Δabc[p2-（b+c）p+bc+p2-（c+a）p+ca

+p2-（a+b）p+ab]

=8Δabc[3p2-2p（a+b+c）+（ab+bc+ca）]

=8Δabc[-p2+（ab+bc+ca）]

所以

hbhcra+hcharb+hahbrc=2rR（ra+rb+rc）成立.

（2）rbrcha+rcrahb+rarbhc

=Δ2[a（p-b）（p-c）+b（p-c）（p-a）+c（p-a）（p-b）]

=Δ[a（p-a）+b（p-b）+c（p-c）]2（p-a）（p-b）（p-c）.

又ra+rb+rc

=Δp-a+Δp-b+Δp-c

=Δ[（p-b）（p-c）+（p-c）（p-a）+（p-a）（p-b）]（p-a）（p-b）（p-c）

由（1）的证明可知

a（p-a）+b（p-b）+c（p-c）

=2[（p-b）（p-c）+（p-c）（p-a）+（p-a）（p-b）]，

所以rbrcha+rcrahb+rarbhc=ra+rb+rc成立，证毕.