2015年高考线性规划试题研究

武岩

线性规划是直线方程在实际问题中的应用，即通过二元一次不等式组表示的平面区域来寻求实际问题的最优解.在高考线性规划问题中，经常围绕以下几类问题进行考察或展开运用，现举几例来说明：

1 线性规划问题的常规求解

常规的线性规划问题求最优解，要明确线性规划问题求解的基本步骤，即在作出可行域，理解目标函数z的意义的基础上，通过平移目标函数所在直线，最终寻求最优解.

例1 （2015年陕西）某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料.已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（  ）.

A.12万元 B.16万元 C.17万元 D.18万元

甲乙原料限额A（吨）3212B（吨）128

解析 设该企业每天生产甲、乙两种产品分别为x、y吨，则利润z=3x+4y，

由题意可列3x+2y≤12，

x+2y≤8，

x≥0，

y≥0，该不等式组表示的平面区域如图1所示阴影部分：

图1

易知目标函数z=3x+4y所在直线y=-34x+z4过点A（2，3），即x=2，y=3时，z取得最大值，zmax=3×2+4×3=18，故选D.

实际问题涉及的线性规划问题求解，不同于纯数学形式的线性规划问题，尤其最优解，要遵循实际问题所在的意义.类似教材中钢板张数，人力资源分配，车辆配备等问题要寻求最优整数解等，都不同于一般的数学求实数解问题，这在求解过程中尤其注意.

练习 （2015年天津）设变量x，y满足约束条件x+2≥0，

x-y+3≥0，

2x+y-3≤0，则目标函数z=x+6y的最大值为（  ）.

A.3   B.4   C.18   D.40

（答案C.）

2 线性规划问题中的参数求解

在线性规划问题中，常常遇到借助于不等式组，或者目标函数设置一些参数，利用已知的目标函数z的最值，来求出参数值的题目.这类线性规划问题的求解，方法上仍要遵循线性规划问题的求解步骤，但在求解中涉及到分类讨论，数形结合等数学思想.

例2 （2015年山东）已知x，y满足约束条件x-y≥0，

x+y≤2，

y≥0.  若z=ax+y的最大值为4，则a=（ ）.

A.3  B.2   C.-2  D.-3

图2

解析 由z=ax+y得y=-ax+z，借助图形2可知：

当-a≥1，即a≤-1时，在x=y=0时有最大值0，不符合题意;

当0≤-a<1，即-1<a≤0时，在x=y=1时有最大值a+1=4，a=3，不满足-1<a≤0;

当-1<-a≤0，即0<a≤1时，在x=y=1时有最大值a+1=4，a=3，不满足0<a≤1;当-a<-1，即a>1时在x=2，y=0时有最大值2a=4，a=2，满足a>1;故选B.

本例中参数a在目标函数所在直线方程中的意义与斜率有关，即直线的斜率k=-a，故如何利用条件中的函数最大值4求参数a成为解题关键，或者说目标函数所在直线经过不等式组所示区域的哪一点取到最大值成为参数a分类讨论的依据.

3 非线性目标函数的最值求解

在线性规划问题中，我们常常会遇到一些非线性目标函数的求解问题.

例3 （2015年四川）设实数x，y满足

2x+y≤10，

2+2y≤14，

x+y≥6，

则xy的最大值为（  ）.

A.252  B.492

C.12  D.14  图3

解析 不等式所示平面区域如图3，

当动点（x，y）在线段AC上时，此时2x+y=10，据基本不等式知道，非线性目标函数z=xy=12（2x·y）≤12（2x+y2）2=252，当且仅当x=52，y=5时取等号，对应点落在线段AC上，故最大值为252，选A.

本例中，目标函数z=xy，借助于直线方程2x+y=10，通过变形xy=12（2x·y）联想到不等式2x·y≤（2x+y2）2，从而找到目标函数xy的最优解.类似非线性目标函数x2+y2，y-bx-a等形式都要在理解函数意义的基础上寻求最优解.

练习 （2015年新课标卷）若x，y满足约束条件x-1≥0，

x-y≤0，

x+y-4≤0， 则yx的最大值为   .

（答案3.）

4 线性规划问题的综合运用

有些数学问题如果转化为线性规划问题会得到简捷的解法，当然这要求对问题有着较深刻的理解，要善于利用转化和划归思想转化为线性规划问题.

例4 （2015年浙江理科）若实数满足x2+y2≤1，则|2x+y-2|+|6-x-3y|的最小值是    .

解析 条件x2+y2≤1表示圆x2+y2=1及其内部，易得直线6-x-3y=0与该圆相离，故|6-x-3y|=6-x-3y，设函数z=|2x+y-2|+|6-x-3y|，

当2x+y-2≥0时，则x2+y2≤1，

2x+y-2≥0，所示平面区域如图4所示，可行域为小的弓形内部，易知目标函数z=|2x+y-2|+|6-x-3y|=x-2y+4，

故目标函数z=x-2y+4所在直线y=12x-z2+2过点A（35，45）时z最小，即x=35，y=45时，zmin=4;

图4

当x-2y+4<0时，z=|2x+y-2|+|6-x-3y|=8-3x-4y，可行域为大的弓形

内部，同理可知目标函数z=8-3x-4y所在直线y=-34x-z4+2过点A（35，45）时z最小，当x=35，y=45时，zmin=4.

综上，|2x+y-2|+|6-x-3y|的最小值为3.

本例中，利用直线与圆相离的位置关系，化简|6-x-3y|=6-x-3y，再利用分类讨论的思想将原来的问题化简|2x+y-2|+|6-x-3y|为目标函数z=x-2y+4或者z=8-3x-4y，就将较复杂的问题转化为线性规划问题从而求解.

总之，在高考试题中，线性规划问题的考察经常以选择或填空题的形式进行考察，考察问题也常常围绕着以上所列举的对线性规划问题的常规形式、求解不等式组或目标函数中所涉及的参数、非线性目标函数以及线性规划在其他数学问题中的运用进行考察，但由于可行域的作图，最优解的寻求容易出错，这就要求在平时的教学与学习中要重视线性规划问题，以便在高考考察中不失分.