几何学发展概述

几何学发展概述

李雅莉 （北方机电工业学校 075000）

英文Geometry一词，是从希腊语演变而来的，其原意是土地测量、后被我国明朝的徐光啓翻译成“几何学”。依据大量实证研究，创造几何学的是埃及人，几何学因土地测量而产生。几何是研究形的科学，以人的视觉思维为主导，培养人的观察能力、空间想象能力和洞察力。几何的发展首先是欧几里得的欧氏几何，其次是19世纪上半叶，非欧几何的诞生，再次是射影几何的繁荣，最后是几何学的统一。

几何学起源 欧氏几何 非欧几何 摄影几何 几何学的统一

一、几何学的起源

几何学起源于四大文明古国之一的埃及。在埃及，尼罗河两岸土地肥沃，农产品丰富，但是每年河水泛滥成灾，尼罗河两岸的田地被淹，田地之间的界线消失，常常引起争执，这时就需要对田地重新进行测量，这就是几何学的起源。

英文Geometry一词，是从希腊语演变而来的，其原意是土地测量，后被我国明朝的徐光啓翻译成“几何学”。

四季的变化与农业有着密切的关系，天文学也随之产生。这就需要人们必须识别东南西北这四个方向，聪明的埃及人很早就已经知道了用北极星来测定南北两个方向，这样的话就可以找到东西方向，我们只需作南北方向的垂线。埃及人作垂线的方法是用三根绳子做一个三角形，这个三角形的长度长分别为三尺、四尺和五尺，那么三尺和四尺的边就是相互垂直的。当时在我国也已经会用这种方法找到相互垂直的两条线，也就是我国的“勾股定理”。这个定理在我国最早的一部数学著作《周脾算经》中已有记载，这与埃及人的想法不谋而合。但那时从未有人给出这个定理以详细的证明。那时的几何学只涉及到一些零散的实际生活中所需要用到的几何问题，很少有普遍的抽象定理。

二、欧式几何

公元前3世纪，伟大的古希腊数学家欧几里得是欧氏几何的创始人。尽管在欧几里得以前，古希腊人已经掌握了一些几何知识，并开始用各种方法证明这些几何命题。但是这方面的知识仅限于一些具体的问题，并且是很粗糙、零碎的。在前人准备“砖和瓦”材料的基础上，欧几里德这位伟大的几何建筑师，按照逻辑系统把几何命题天才般地整理到了一起，并建立了一座几何大厦，构成了历史上第一个数学公理体系——《几何原本》。这是一部具有里程碑意义的著作，它标志着欧氏几何的建立。人们把欧氏几何看做是一个公理、公设系统，在这个系统中通过有限的公理、公设来证明所有的”真命题”。

然而，这个近乎科学“圣经”的欧几里得几何并非无懈可击。首先，欧几里得给出的一些定义只是对几何形象的简单描述，它并非是逻辑意义下的定义，比如“线是有长度而没有宽度的”等。这样的定义对逻辑严密的推理不起任何作用。其次，根据欧几里得创立的公理来研究欧几里得本身的公理系统，没有出现任何矛盾，也就是说，欧几里得几何本身没有相互矛盾的命题。但我们可以发现其中有些公理完全可以去掉，比如“所有的直角是相等的”，这条公理是多余的。从公理的完备性来看，欧式的公理对位置公理、连续公理以及运动公理等方面的描述较少。但必须指出，虽然欧几里得的《几何原本》存在以上缺点，但是这些缺点完全是在现代科学技术水平上发现的，在两千多年前欧几里得能够建立起如此完整的几何基础，应该是一项非常伟大的工作。

三、非欧几何

非欧几何，可以追溯到对欧几里得第五公社——平行公设的怀疑。在19世纪，数学家高斯（德国）、罗巴切夫斯基（俄罗斯）和波尔约（匈牙利）各自独立地发现平行公理是独立于其他公理的，并可以使用不同的“平行公理”来代替欧几里德平行公理，这就意味着非欧几何的建立。

罗巴切夫斯基在1829年、波尔约在1832年独立地用平行公理的逆命题，即用“通过直线外一点，可以引不止一条而至少是两条直线平行于已知直线”来代替欧几里得平行公理，作为替代公设，由此替代公社出发进行推导得出了一连串新几何学的定理。罗巴切夫斯基很明确地指出，这些定理之间不会出现矛盾，这些定理整体形成了一个逻辑上无矛盾的理论，这个理论就是一种新的几何学——非欧几里得几何学。在这一几何学中，三角形的内角和小于两个直角。罗巴切夫斯基称这种几何为虚拟几何，后来被称为罗巴切夫斯基几何，简称罗氏几何，也被称为双曲几何。

黎曼——发现非欧几何的另一个数学家（德国）。他在1854年发表的题为《关于几何基础的假设》的演讲中，区分了无界和无限这两个概念，这样就得到了另一种几何学——相容几何学，也称为黎曼的非欧几何（椭圆几何）。这样的几何可以在球面上实现。

在罗巴切夫斯基和黎曼的非欧几何出现后，几何学被解放了出来。创建一个非欧几何，在扩大了几何概念的同时，对20世纪初物理学所发生的关于空间和时间的物理观念的改革等方面也发挥了重大作用。非欧几何的贡献是首先提出了弯曲的空间，它为黎曼几何的产生创造了条件。

四、射影几何学的繁荣

在17世纪，当笛卡尔和费马的解析几何出现的时候，还有一门几何学成为了一门重要的学科，成为了几何学中一个重要分支。这种几何与画图关系密切，早在古希腊时期，它的一些概念就已经引起了有关学者的关注。欧洲文艺复兴时期，透视学的兴起，为射影几何学的产生和发展准备了充分的条件，人们把这种几何学称为射影几何。为其建立和发展作出了重要贡献的是两个法国数学家——笛莎格和布莱士帕斯卡。19世纪射影几何最终确立了。

平面射影几何的公理体系包括四条接合公理、七条顺序公理和连续公理，主要研究的是图形的射影性质，即它们通过射影变换后，仍然保持原来的的图形性质的几何学分支学科。

五、几何学的统一

在数学史上，罗巴切夫斯基被称为“几何学上的哥白尼”。这是因为非欧几何的创立不只解决了两千年来一直悬而未决的平行公设问题，更重要的是它引起了关于几何观念和空间观念的最深刻的革命。首先，非欧几何对于人们的空间观念产生了极其深远的影响。其次，非欧几何的出现打破了长期以来只有一种几何学即欧氏几何学的局面。统一几何学的第一个大胆计划是由德国数学家克莱因提出的。他在一次名为《艾尔朗根纲领》演讲中充分阐述了几何学统一的思想：所谓几何学，就是研究几何图形对于某类变换群保持不变的性质的学问。这样一来，不仅仅19世纪出现的几种重要的、表面上互不相关的几何学被联系了起来，而且变换群的任何一种分类也对应着几何学的一种分类。

另一位数学家是希尔伯特，他对几何学的统一也产生了深远的影响，他所提出的统一几何学的方法是公理化的方法。希尔伯特在他的著作《几何基础》一书中提出的公理系统包括20条公理，且第一次提出了选择和组织公理系统的原则，利用他这一研究方法，就可以得到相应的某种几何。这样一来，不仅可以对原有的几门非欧几何进行统一处理，而且还可以从中引出新的几何学。

[1]李文林.数学史概论[M].高等教育出版社，2000.

[2]张宗杰.几何学概论[J].中学生数学，2012（9）.

（责编 吴海婷）