一道无理函数值域问题的变式探究

邱明武

（江西省信丰县第七中学）

函数值域的求法是高中函数教学中的重点，同时也是难点，其常用方法有：观察法、反函数法、分离常数法、配方法、换元法、判别式法、不等式法、单调性法、求导法、函数的有界性法、数形结合法等等.这道题主要考查无理函数值域的求法，而无理函数值域的常用求法有：单调性法、反函数法、配方法、换元法、求导法、数形结合法、构造解析几何模型法等。首先来探究一下本题的解决方法，如下：

解法1（单调性法）

解法2（反函数法）

这道题的两种解法平时教学多次渗透，学生也知道求值域的一些基本方法，但就是用起来达不到应用自如、熟能生巧、举一反三的地步.观察这道题的结构，不难联想到这道题的变式题又如何求解？下面就让我们来探究一下这道题的变式求解吧.

评注 这道题虽含根式看似很复杂，但若分析其单调性来求值域就很简单了.因此对某些求函数的值域或最值问题，可以从函数的单调性角度来考虑.